Menguasai identitas trigonometri adalah kunci untuk menaklukkan berbagai topik matematika tingkat lanjut. Seringkali, tantangan terbesar muncul saat harus menerapkan identitas-identitas tersebut dalam soal nyata. Artikel ini hadir sebagai solusi tepat bagi Anda yang sedang mencari panduan komprehensif. Kami menyajikan beragam contoh soal matematika identitas trigonometri yang dirancang khusus untuk memperkuat pemahaman Anda, mulai dari identitas dasar hingga identitas penjumlahan dan selisih, identitas sudut ganda, bahkan setengah sudut. Setiap soal dilengkapi dengan pembahasan langkah demi langkah yang jelas dan mudah dipahami, memastikan Anda tidak hanya mengetahui jawabannya, tetapi juga memahami proses pemikirannya secara mendalam.
Fokus pembelajaran kami adalah membantu Anda mengembangkan intuisi dalam memanipulasi ekspresi trigonometri, menyederhanakan bentuk yang kompleks, membuktikan kebenaran suatu identitas, serta menyelesaikan persamaan trigonometri yang memerlukan substitusi identitas. Tujuannya adalah untuk meningkatkan kemampuan analitis Anda, melatih ketelitian, dan membangun kepercayaan diri dalam menghadapi soal-soal identitas trigonometri di sekolah maupun ujian. Baik Anda seorang siswa yang sedang mempersiapkan ulangan harian, ujian semester, atau bahkan olimpiade, maupun pengajar yang mencari referensi soal bervariasi, koleksi contoh soal ini akan menjadi sumber daya yang sangat berharga. Mari asah kemampuan trigonometri Anda dan jadikan identitas trigonometri sebagai sahabat dalam memecahkan masalah matematika!
Berikut adalah 30 contoh soal mengenai identitas trigonometri, terdiri dari 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian.
—
## Soal Pilihan Ganda
1. Bentuk sederhana dari sin x ⋅ csc x adalah…
a. sin²x
b. cos²x
c. 1
d. tan x
Jawaban: c
2. Manakah dari identitas berikut yang benar?
a. sin²x – cos²x = 1
b. 1 + sec²x = tan²x
c. 1 + cot²x = csc²x
d. tan x = cos x / sin x
Jawaban: c
3. Jika sin θ = 3/5, dan θ berada di kuadran I, berapakah nilai cos θ?
a. 4/5
b. -4/5
c. 3/4
d. 4/3
Jawaban: a
4. Ekspresi (1 – cos²x) sama dengan…
a. sin x
b. cos x
c. sin²x
d. tan²x
Jawaban: c
5. Bentuk sederhana dari tan x ⋅ cos x adalah…
a. sin x
b. cos x
c. sec x
d. csc x
Jawaban: a
6. Mana di antara berikut yang *bukan* merupakan identitas trigonometri?
a. sin²x + cos²x = 1
b. sec x = 1/cos x
c. sin x + cos x = 1
d. tan x = sin x / cos x
Jawaban: c
7. Sederhanakan: (1 + tan²x) / sec²x
a. tan x
b. cot x
c. 1
d. sin²x
Jawaban: c
8. Bentuk sederhana dari sin x / csc x adalah…
a. sin²x
b. cos²x
c. tan²x
d. cot²x
Jawaban: a
9. Bentuk lain dari (sec²x – 1) / tan x adalah…
a. tan x
b. cot x
c. sin x
d. cos x
Jawaban: a
10. Sederhanakan: cos x / (1 – sin²x)
a. sec x
b. csc x
c. tan x
d. cot x
Jawaban: a
11. Identitas yang menyatakan bahwa sin(-θ) = -sin θ disebut identitas…
a. Pythagorean
b. Resiprokal
c. Genap-Ganjil (Even-Odd)
d. Kuosien
Jawaban: c
12. Jika sec A = 5/3, berapakah nilai cos A?
a. 3/5
b. 5/3
c. 4/5
d. 3/4
Jawaban: a
13. Ekspresi (1 – cos x)(1 + cos x) sama dengan…
a. sin²x
b. cos²x
c. tan²x
d. sec²x
Jawaban: a
14. Manakah dari berikut ini yang ekuivalen dengan csc x ⋅ tan x?
a. sin x
b. cos x
c. sec x
d. cot x
Jawaban: c
15. Bentuk sederhana dari (sec x – tan x)(sec x + tan x) adalah…
a. sin²x
b. cos²x
c. 1
d. sec²x + tan²x
Jawaban: c
16. Identitas 1 + cot²x = csc²x dapat diturunkan dari identitas Pythagoras…
a. sin²x + cos²x = 1 dengan membagi semua suku dengan sin²x
b. sin²x + cos²x = 1 dengan membagi semua suku dengan cos²x
c. 1 + tan²x = sec²x dengan membagi semua suku dengan tan²x
d. 1 + tan²x = sec²x dengan membagi semua suku dengan sec²x
Jawaban: a
17. Jika cos x = 1/2, maka sin²x adalah…
a. 1/4
b. 3/4
c. 1/2
d. √3 / 2
Jawaban: b
18. Ekspresi cot x ⋅ sec x sama dengan…
a. sin x
b. cos x
c. csc x
d. tan x
Jawakan: c
19. Manakah dari berikut yang benar?
a. sec x ⋅ sin x = cot x
b. csc x ⋅ cos x = tan x
c. tan x ⋅ cot x = 1
d. sin²x – cos²x = 1
Jawaban: c
20. Identitas trigonometri sin²x + cos²x = 1 dikenal sebagai identitas…
a. Resiprokal
b. Kuosien
c. Pythagoras
d. Cofungsi
Jawaban: c
—
## Soal Isian Singkat
1. Isi bagian yang kosong: sin²x + … = 1
Jawaban: cos²x
2. Sederhanakan ekspresi: (sin x + cos x)² – 2 sin x cos x. Hasilnya adalah …
Jawaban: 1
3. Jika tan θ = 3, berapakah nilai cot θ?
Jawaban: 1/3
4. Tuliskan identitas trigonometri yang menghubungkan tan x dan sec x.
Jawaban: 1 + tan²x = sec²x
5. Berapakah hasil dari sin x / (1 – cos²x) jika disederhanakan ke bentuk paling sederhana?
Jawaban: csc x
—
## Soal Uraian
1. Buktikan identitas: (sec θ – tan θ)(sec θ + tan θ) = 1.
Jawaban:
Mulai dari sisi kiri (LHS):
LHS = (sec θ – tan θ)(sec θ + tan θ)
Ini adalah bentuk (a – b)(a + b) yang hasilnya a² – b².
Jadi, ekspresi menjadi:
LHS = sec²θ – tan²θ
Menurut identitas Pythagoras, kita tahu bahwa 1 + tan²θ = sec²θ.
Dengan mengatur ulang identitas tersebut, kita dapatkan sec²θ – tan²θ = 1.
Jadi, LHS = 1.
Karena LHS = RHS, identitas terbukti.
2. Sederhanakan ekspresi berikut ke bentuk paling sederhana: (sin x / cos x) + (cos x / sin x).
Jawaban:
Untuk menyederhanakan ekspresi ini, kita cari penyebut bersama, yaitu sin x cos x.
(sin x / cos x) + (cos x / sin x)
= (sin x ⋅ sin x / (cos x ⋅ sin x)) + (cos x ⋅ cos x / (sin x ⋅ cos x))
= (sin²x / (sin x cos x)) + (cos²x / (sin x cos x))
Gabungkan pecahan:
= (sin²x + cos²x) / (sin x cos x)
Menurut identitas Pythagoras, sin²x + cos²x = 1.
Jadi, ekspresi menjadi:
= 1 / (sin x cos x)
Ekspresi ini juga dapat ditulis menggunakan identitas resiprokal sebagai csc x ⋅ sec x.
Jadi, bentuk paling sederhana adalah 1 / (sin x cos x) atau csc x ⋅ sec x.
3. Jelaskan mengapa identitas sin²x + cos²x = 1 merupakan identitas fundamental dalam trigonometri. Berikan contoh penerapannya.
Jawaban:
Identitas sin²x + cos²x = 1 adalah identitas fundamental karena beberapa alasan:
1. Asal Geometris: Identitas ini berasal langsung dari Teorema Pythagoras. Jika kita menggambar segitiga siku-siku di dalam lingkaran satuan (lingkaran dengan jari-jari 1 yang berpusat di titik asal), dengan sudut θ, sisi miringnya adalah 1, sisi tegak vertikal adalah sin θ, dan sisi tegak horizontal adalah cos θ. Berdasarkan Teorema Pythagoras (sisi₁² + sisi₂² = hipotenusa²), kita mendapatkan (sin θ)² + (cos θ)² = 1², atau sin²θ + cos²θ = 1.
2. Hubungan Dasar: Identitas ini menghubungkan dua fungsi trigonometri dasar (sinus dan kosinus) dan merupakan dasar untuk menurunkan banyak identitas lainnya, seperti 1 + tan²x = sec²x (dengan membagi semua suku dengan cos²x) dan 1 + cot²x = csc²x (dengan membagi semua suku dengan sin²x).
3. Memungkinkan Perhitungan: Identitas ini memungkinkan kita untuk mencari nilai satu fungsi trigonometri jika nilai fungsi trigonometri yang lain diketahui, asalkan kuadran sudut juga diketahui.
Contoh Penerapan:
Jika diketahui sin x = 3/5 dan sudut x berada di kuadran II, kita dapat mencari cos x.
sin²x + cos²x = 1
(3/5)² + cos²x = 1
9/25 + cos²x = 1
cos²x = 1 – 9/25
cos²x = 25/25 – 9/25
cos²x = 16/25
cos x = ±√(16/25)
cos x = ±4/5
Karena x berada di kuadran II, nilai cos x harus negatif.
Jadi, cos x = -4/5.
4. Buktikan identitas: (1 – sin x) / cos x = cos x / (1 + sin x).
Jawaban:
Kita bisa membuktikan identitas ini dengan mengalikan pembilang dan penyebut salah satu sisi dengan konjugat. Mari kita mulai dari sisi kiri (LHS) dan kalikan pembilang dan penyebut dengan (1 + sin x):
LHS = (1 – sin x) / cos x
Kalikan pembilang dan penyebut dengan (1 + sin x):
LHS = [(1 – sin x)(1 + sin x)] / [cos x (1 + sin x)]
Gunakan rumus selisih kuadrat (a – b)(a + b) = a² – b² untuk pembilang:
LHS = (1² – sin²x) / [cos x (1 + sin x)]
LHS = (1 – sin²x) / [cos x (1 + sin x)]
Menurut identitas Pythagoras, 1 – sin²x = cos²x. Gantikan ini pada pembilang:
LHS = cos²x / [cos x (1 + sin x)]
Sekarang, batalkan satu faktor cos x dari pembilang dan penyebut:
LHS = cos x / (1 + sin x)
Ini sama dengan sisi kanan (RHS).
Oleh karena itu, identitas terbukti.
5. Gunakan identitas untuk membuktikan bahwa tan²x ⋅ cos²x + cot²x ⋅ sin²x = 1.
Jawaban:
Mulai dari sisi kiri (LHS) dari persamaan:
LHS = tan²x ⋅ cos²x + cot²x ⋅ sin²x
Gunakan identitas kuosien:
tan x = sin x / cos x, sehingga tan²x = sin²x / cos²x
cot x = cos x / sin x, sehingga cot²x = cos²x / sin²x
Substitusikan identitas ini ke dalam ekspresi LHS:
LHS = (sin²x / cos²x) ⋅ cos²x + (cos²x / sin²x) ⋅ sin²x
Pada suku pertama, `cos²x` di pembilang dan penyebut akan saling meniadakan:
LHS = sin²x + (cos²x / sin²x) ⋅ sin²x
Pada suku kedua, `sin²x` di pembilang dan penyebut juga akan saling meniadakan:
LHS = sin²x + cos²x
Menurut identitas Pythagoras, kita tahu bahwa sin²x + cos²x = 1.
LHS = 1
Ini sama dengan sisi kanan (RHS) dari persamaan.
Oleh karena itu, identitas terbukti.
