Menguasai konsep jarak titik ke garis merupakan fondasi penting dalam geometri analitik yang sering kali menjadi tantangan bagi banyak siswa dan mahasiswa. Artikel ini dirancang khusus untuk membantu Anda memahami dan menguasai topik ini melalui serangkaian contoh soal matematika jarak titik ke garis yang komprehensif dan mudah dipahami. Kami akan menyajikan soal-soal mulai dari tingkat dasar hingga menengah, mencakup berbagai kondisi dan skenario dalam sistem koordinat Kartesius dua dimensi. Setiap contoh soal dilengkapi dengan pembahasan langkah demi langkah yang jelas dan terstruktur, memastikan Anda tidak hanya mendapatkan jawaban akhir, tetapi juga memahami logika di balik setiap tahapan penyelesaian, termasuk penggunaan rumus dan interpretasi hasilnya.
Tujuan utama dari latihan soal ini adalah untuk memperdalam pemahaman Anda tentang rumus jarak titik ke garis, melatih kemampuan Anda dalam mengaplikasikan rumus tersebut pada berbagai jenis soal, serta meningkatkan keterampilan pemecahan masalah Anda dalam geometri analitik secara keseluruhan. Dengan berlatih melalui contoh soal matematika jarak titik ke garis yang bervariasi ini, Anda akan lebih percaya diri dalam menghadapi ujian, tugas sekolah, atau bahkan aplikasi nyata konsep ini dalam bidang teknik atau fisika. Kami juga akan menyoroti tips dan trik untuk menghindari kesalahan umum, serta cara memvisualisasikan masalah secara efektif. Siapkan diri Anda untuk mengasah kemampuan matematika Anda dan taklukkan topik jarak titik ke garis dengan panduan lengkap ini!
Tentu, berikut adalah 30 contoh soal mengenai jarak titik ke garis, lengkap dengan kunci jawaban, dalam format Markdown yang diminta.
—
## Soal Pilihan Ganda
1. Tentukan jarak dari titik P(0,0) ke garis 3x + 4y – 10 = 0.
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Jawaban: b
2. Berapakah jarak dari titik Q(1,2) ke garis x – y + 5 = 0?
a. 4 / √2
b. 2 / √2
c. 3 / √2
d. 6 / √2
Jawaban: a
3. Jarak antara titik A(2,1) dan garis 4x – 3y + 1 = 0 adalah…
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Jawaban: b
4. Titik B(-1,3) dan garis 2x + y – 4 = 0. Berapakah jaraknya?
a. 1 / √5
b. 2 / √5
c. 3 / √5
d. 4 / √5
Jawaban: c
5. Hitunglah jarak dari titik C(3,-2) ke garis 5x – 12y – 13 = 0.
a. 16/13
b. 26/13
c. 38/13
d. 40/13
Jawaban: c
6. Jarak dari titik D(0,5) ke garis y = 2x + 1 adalah…
a. 4 / √5
b. 2 / √5
c. 1 / √5
d. 3 / √5
Jawaban: a
7. Tentukan jarak dari titik E(1,1) ke garis y = x – 2.
a. 0
b. 1 / √2
c. 2 / √2
d. 3 / √2
Jawaban: c
8. Berapakah jarak dari titik F(-2,0) ke garis 3y = -4x + 6?
a. 14/5
b. 12/5
c. 10/5
d. 8/5
Jawaban: a
9. Jarak titik G(4,-1) ke garis 2x – 5 = 3y adalah…
a. 0
b. 1 / √13
c. 2 / √13
d. 3 / √13
Jawaban: b
10. Jika titik H(p,2) memiliki jarak 1 dari garis x – y + 1 = 0, maka nilai p yang mungkin adalah…
a. 1 atau 2
b. 1 atau -1
c. 2 atau 0
d. 0 atau -1
Jawaban: c
11. Jarak dari titik I(5,3) ke garis x = 2 adalah…
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Jawapan: c
12. Berapakah jarak dari titik J(-1,4) ke garis y = 0?
a. 0
b. 1
c. 2
d. 4
Jawaban: d
13. Titik K(0,0) dan garis y = -3. Berapakah jaraknya?
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
Jawaban: d
14. Jarak dari titik L(2,-1) ke garis 3x + 6y = 0 adalah…
a. 0
b. 1 / √5
c. 2 / √5
d. 3 / √5
Jawaban: a
15. Jika jarak titik M(x,y) ke garis Ax + By + C = 0 adalah 0, maka dapat disimpulkan bahwa…
a. Titik M berada di luar garis.
b. Titik M berimpit dengan garis.
c. Garis tersebut melalui titik asal.
d. Koefisien A dan B adalah nol.
Jawaban: b
16. Tentukan jarak dari titik N(0,0) ke garis yang melalui titik (2,0) dan (0,2).
a. √2
b. 1
c. 2
d. 0
Jawaban: a
17. Jarak dari titik O(1,0) ke garis yang bergradien 1 dan melalui titik (-1,0) adalah…
a. 0
b. 1 / √2
c. 2 / √2
d. 3 / √2
Jawaban: c
18. Garis ℓ₁ adalah 3x + 4y = 6. Garis ℓ₂ adalah 3x + 4y = 16. Jarak antara garis ℓ₁ dan ℓ₂ adalah…
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Jawaban: b
19. Sebuah garis memiliki persamaan x + 2y – k = 0. Jika jarak dari titik (1,0) ke garis tersebut adalah 2/√5, maka nilai k yang mungkin adalah…
a. 1 atau 3
b. 1 atau -3
c. 3 atau -1
d. -3 atau -1
Jawaban: c
20. Manakah dari pernyataan berikut yang benar mengenai jarak titik ke garis?
a. Jarak selalu negatif.
b. Jarak adalah panjang ruas garis terpendek dari titik ke garis.
c. Jarak dihitung menggunakan garis yang sejajar dengan garis target.
d. Titik pada garis akan memiliki jarak bukan nol ke garis tersebut.
Jawaban: b
—
## Soal Isian Singkat
1. Rumus umum untuk menghitung jarak dari titik (x₁, y₁) ke garis Ax + By + C = 0 adalah `d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)`. Untuk titik (2,3) dan garis x + y – 4 = 0, nilai dari `Ax₁ + By₁ + C` adalah …
Jawaban: 1
2. Jarak dari titik (0,0) ke garis 6x – 8y + 20 = 0 adalah …
Jawaban: 2
3. Garis vertikal x = 5. Jarak dari titik (2,1) ke garis tersebut adalah …
Jawaban: 3
4. Sebuah garis melalui titik (1,1) dan memiliki gradien -1. Persamaan garis tersebut adalah y = -x + 2. Jika jarak dari titik (0,0) ke garis ini adalah √2, maka nilai A, B, C dari bentuk Ax + By + C = 0 adalah …
Jawaban: A=1, B=1, C=-2 (atau kelipatannya, misal A=-1, B=-1, C=2)
5. Jarak dari titik (4,2) ke garis 2x – 4 = 0 adalah …
Jawaban: 2
—
## Soal Uraian
1. Jelaskan secara geometris apa yang dimaksud dengan jarak dari sebuah titik ke sebuah garis.
Jawaban: Secara geometris, jarak dari sebuah titik ke sebuah garis adalah panjang ruas garis terpendek yang dapat ditarik dari titik tersebut ke garis. Ruas garis terpendek ini selalu tegak lurus (ortogonal) terhadap garis yang dimaksud.
2. Jelaskan langkah-langkah untuk menghitung jarak dari titik P(2,3) ke garis dengan persamaan y = 2x – 1.
Jawaban:
1. Ubah persamaan garis ke bentuk umum: Persamaan y = 2x – 1 dapat diubah menjadi 2x – y – 1 = 0. Dari sini kita dapatkan A = 2, B = -1, dan C = -1.
2. Identifikasi koordinat titik: Titik P adalah (x₁, y₁) = (2,3).
3. Substitusikan nilai ke dalam rumus jarak:
d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)
d = |(2)(2) + (-1)(3) + (-1)| / √((2)² + (-1)²)
d = |4 – 3 – 1| / √(4 + 1)
d = |0| / √5
d = 0 / √5
d = 0
4. Kesimpulan: Jaraknya adalah 0, yang berarti titik P(2,3) berada tepat pada garis y = 2x – 1.
3. Mengapa nilai mutlak digunakan pada bagian pembilang rumus jarak titik ke garis `d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)`?
Jawaban: Nilai mutlak digunakan pada bagian pembilang (`|Ax₁ + By₁ + C|`) karena jarak secara definisi selalu merupakan besaran non-negatif (positif atau nol). Ekspresi `Ax₁ + By₁ + C` bisa menghasilkan nilai positif, negatif, atau nol, tergantung pada posisi titik relatif terhadap garis. Dengan mengambil nilai mutlak, kita memastikan bahwa hasil akhir perhitungan jarak selalu positif atau nol, merepresentasikan panjang fisik.
4. Bagaimana Anda dapat menggunakan konsep jarak titik ke garis untuk menemukan luas segitiga jika koordinat ketiga titik sudutnya diketahui?
Jawaban: Untuk menemukan luas segitiga dengan koordinat titik sudut yang diketahui, kita dapat menggunakan salah satu sisi sebagai alas dan menghitung tingginya. Langkah-langkahnya adalah:
1. Pilih salah satu sisi sebagai alas. Misalnya, pilih sisi yang dibentuk oleh titik A dan B.
2. Hitung panjang alas. Gunakan rumus jarak antara dua titik untuk menemukan panjang alas AB.
3. Tentukan persamaan garis yang melalui alas tersebut. Gunakan koordinat A dan B untuk membentuk persamaan garis Ax + By + C = 0.
4. Hitung tinggi segitiga. Tinggi segitiga adalah jarak dari titik sudut yang berlawanan (misalnya titik C) ke garis yang berisi alas AB. Gunakan rumus jarak titik ke garis untuk menghitung tinggi ini.
5. Hitung luas segitiga. Gunakan rumus luas segitiga: Luas = (1/2) × alas × tinggi.
5. Jelaskan bagaimana Anda dapat mencari jarak antara dua garis sejajar, misalnya garis ℓ₁: Ax + By + C₁ = 0 dan garis ℓ₂: Ax + By + C₂ = 0.
Jawaban: Untuk mencari jarak antara dua garis sejajar:
1. Pilih sembarang titik pada salah satu garis. Misalnya, pilih titik P(x₁, y₁) yang terletak pada garis ℓ₁. Anda bisa mendapatkan titik ini dengan menetapkan nilai x=0 (atau y=0) pada persamaan garis tersebut dan menyelesaikan untuk koordinat lainnya.
2. Hitung jarak dari titik tersebut ke garis lainnya. Gunakan rumus jarak titik ke garis untuk menghitung jarak dari titik P(x₁, y₁) (yang berada di garis ℓ₁) ke garis ℓ₂ (Ax + By + C₂ = 0).
Rumusnya adalah `d = |Ax₁ + By₁ + C₂| / √(A² + B²)`.
Karena garisnya sejajar, nilai A dan B akan sama untuk kedua garis (atau kelipatannya), sehingga kita bisa langsung menggunakan rumus yang lebih ringkas: `d = |C₁ – C₂| / √(A² + B²)`. Pastikan kedua persamaan garis memiliki koefisien A dan B yang identik sebelum menggunakan rumus singkat ini.
—
