Apakah Anda sering merasa tertantang dengan konsep geometri ruang? Artikel ini hadir sebagai solusi tepat bagi Anda! Kami menyajikan kumpulan contoh soal matematika dimensi tiga yang dirancang khusus untuk membantu Anda menguasai materi penting ini. Dimensi tiga atau geometri ruang merupakan salah satu topik krusial dalam matematika SMA yang menuntut pemahaman visualisasi dan logika spasial yang kuat. Materi ini menjadi fondasi penting untuk pemecahan masalah dalam berbagai bidang, mulai dari arsitektur hingga fisika.
Dalam artikel ini, Anda akan menemukan beragam jenis soal yang mencakup konsep-konsep dasar hingga lanjutan. Mulai dari perhitungan jarak antara dua titik, jarak titik ke garis, jarak titik ke bidang, hingga penentuan sudut antara garis dan bidang, serta sudut antara dua bidang. Setiap soal dilengkapi dengan pembahasan lengkap dan langkah-langkah penyelesaian yang mudah dipahami, sehingga Anda tidak hanya mengetahui jawabannya, tetapi juga memahami alur berpikir di baliknya. Jenis bangun ruang yang akan banyak dibahas meliputi kubus, balok, limas, dan prisma, yang kerap muncul dalam soal-soal ujian.
Tujuan utama dari latihan soal ini adalah untuk memperdalam pemahaman konsep Anda, melatih kemampuan analisis, meningkatkan ketelitian, dan membangun kepercayaan diri dalam menghadapi berbagai ujian. Baik itu ujian sekolah, UTBK, SNBT, SIMAK UI, maupun olimpiade matematika, penguasaan materi dimensi tiga sangat vital. Dengan berlatih secara rutin menggunakan contoh soal matematika dimensi tiga yang kami sediakan, Anda akan siap menghadapi tantangan geometri ruang dengan percaya diri dan meraih hasil terbaik. Mari kita taklukkan bersama melalui latihan yang terstruktur dan efektif!
Berikut adalah 30 contoh soal matematika dimensi tiga, terdiri dari 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian, lengkap dengan kunci jawabannya.
—
## Soal Pilihan Ganda
1. Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 8 cm. Jarak titik A ke titik G adalah…
a. 8 cm
b. 8√2 cm
c. 8√3 cm
d. 16 cm
Jawaban: c
2. Pada kubus PQRS.TUVW, garis yang sejajar dengan rusuk PQ adalah…
a. PS
b. QR
c. SR
d. TU
Jawaban: d
3. Banyaknya bidang diagonal pada sebuah kubus adalah…
a. 4
b. 6
c. 8
d. 12
Jawaban: b
4. Kedudukan garis AE terhadap bidang ABCD pada kubus ABCD.EFGH adalah…
a. Sejajar
b. Berpotongan
c. Bersilangan
d. Tegak lurus
Jawaban: d
5. Titik P adalah titik tengah rusuk FG pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik A ke titik P adalah…
a. 3√6 cm
b. 3√5 cm
c. 6√2 cm
d. 6√3 cm
Jawaban: a
6. Diagonal bidang pada kubus ABCD.EFGH yang melalui titik B adalah…
a. BG
b. BH
c. AG
d. CE
Jawaban: a
7. Berapakah jumlah rusuk pada bangun ruang balok?
a. 8
b. 10
c. 12
d. 14
Jawaban: c
8. Sudut antara garis BF dan bidang EFGH pada kubus ABCD.EFGH adalah…
a. 0°
b. 45°
c. 60°
d. 90°
Jawaban: d
9. Sebuah balok memiliki ukuran panjang 12 cm, lebar 4 cm, dan tinggi 3 cm. Panjang diagonal ruang balok tersebut adalah…
a. 13 cm
b. 12 cm
c. 5 cm
d. 10 cm
Jawaban: a
10. Garis yang bersilangan dengan garis BC pada kubus ABCD.EFGH adalah…
a. AD
b. FG
c. AE
d. CD
Jawaban: c
11. Pada kubus ABCD.EFGH, titik P terletak di tengah-tengah rusuk AB. Jarak titik P ke titik H adalah…
a. (1/2)AB
b. √((AB)² + (AH)²)
c. √((AP)² + (AD)² + (DH)²)
d. √((AP)² + (PH)²)
Jawaban: c
12. Pernyataan yang benar mengenai dua bidang yang sejajar adalah…
a. Memiliki satu garis persekutuan.
b. Tidak memiliki titik persekutuan.
c. Memiliki satu titik persekutuan.
d. Saling berpotongan di dua garis.
Jawaban: b
13. Limas segiempat T.ABCD memiliki alas berbentuk persegi dengan panjang sisi 6 cm dan tinggi limas 4 cm. Panjang rusuk tegak TA adalah…
a. 3√2 cm
b. 4√2 cm
c. 5 cm
d. 6 cm
Jawaban: c
14. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Jarak titik A ke bidang CDHG adalah…
a. 5 cm
b. 10 cm
c. 10√2 cm
d. 10√3 cm
Jawaban: b
15. Diagonal bidang pada kubus yang sejajar dengan diagonal bidang AH adalah…
a. BE
b. CF
c. BG
d. DG
Jawaban: d
16. Pada kubus ABCD.EFGH, titik K adalah titik tengah dari rusuk BC. Garis EK terletak pada bidang…
a. ABCD
b. ADHE
c. BCGF
d. ABFE
Jawaban: c
17. Banyaknya titik sudut pada prisma segitiga adalah…
a. 4
b. 5
c. 6
d. 8
Jawaban: c
18. Sudut antara garis AC dan BD pada kubus ABCD.EFGH adalah…
a. 0°
b. 45°
c. 60°
d. 90°
Jawaban: d
19. Jika sebuah titik terletak pada sebuah bidang, maka kedudukan titik tersebut terhadap bidang adalah…
a. Di luar bidang
b. Berimpit dengan bidang
c. Menembus bidang
d. Sejajar dengan bidang
Jawaban: b
20. Proyeksi titik C pada bidang ABFE pada kubus ABCD.EFGH adalah titik…
a. A
b. B
c. E
d. F
Jawban: b
—
## Soal Isian Singkat
1. Panjang diagonal ruang kubus dengan panjang rusuk 5 cm adalah … cm.
Jawaban: 5√3
2. Pada kubus ABCD.EFGH, rusuk AD dan rusuk GH adalah dua garis yang saling …
Jawaban: Bersilangan
3. Sebuah balok memiliki panjang 8 cm, lebar 6 cm, dan tinggi 5 cm. Luas bidang diagonal yang terbentuk oleh panjang dan tinggi adalah … cm².
Jawaban: 40
4. Banyaknya sisi pada limas segienam adalah …
Jawaban: 7
5. Garis yang ditarik dari titik sudut kubus ke titik tengah rusuk yang tidak sebidang dengannya akan membentuk sudut … terhadap bidang alas.
Jawaban: Lancip (atau tergantung spesifikasinya, tetapi tidak 0 atau 90 umumnya)
*Ralat, jawaban yang lebih tepat dan umum untuk konteks ini mungkin membutuhkan informasi lebih spesifik, namun jika ditanya secara umum, ia akan membentuk sudut lancip. Namun untuk isian singkat lebih baik yang pasti. Kita asumsikan pertanyaan yang dimaksud adalah mengenai karakteristik umum dari sudut tersebut.*
Jawaban yang lebih pasti jika diasumsikan contoh: Jika dari A ke tengah FG, itu akan lancip. Jadi ‘Lancip’ adalah jawaban yang sesuai untuk sebuah isian singkat yang umum.
—
## Soal Uraian
1. Jelaskan perbedaan antara diagonal bidang dan diagonal ruang pada sebuah kubus, beserta contohnya.
Jawaban:
Diagonal bidang adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada satu bidang sisi kubus. Diagonal bidang terletak pada sisi kubus tersebut. Contoh: AC, BD, AF, BG, EH, FG, dll.
Diagonal ruang adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan dalam ruang kubus (tidak pada bidang sisi yang sama). Diagonal ruang menembus ruang kubus. Contoh: AG, BH, CE, DF.
2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. Hitunglah jarak titik B ke garis EG. Tunjukkan langkah-langkah penyelesaiannya!
Jawaban:
1. Identifikasi bangun ruang dan titik/garis yang dicari. Kubus ABCD.EFGH, jarak B ke EG.
2. Garis EG adalah diagonal bidang EFGH. Panjang EG = √(EF² + FG²) = √(12² + 12²) = √(144 + 144) = √288 = 12√2 cm.
3. Titik B, E, G membentuk segitiga BEG.
4. Panjang BE adalah diagonal bidang ABFE. BE = 12√2 cm.
5. Panjang BG adalah diagonal bidang BCGF. BG = 12√2 cm.
6. Jadi, segitiga BEG adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 12√2 cm.
7. Jarak titik B ke garis EG adalah tinggi segitiga BEG dari titik B ke sisi EG. Misalkan M adalah titik tengah EG.
8. BM adalah tinggi segitiga BEG. BM = √((BE)² – (EM)²)
9. EM = (1/2)EG = (1/2)(12√2) = 6√2 cm.
10. BM = √((12√2)² – (6√2)²) = √(288 – 72) = √216.
11. √216 = √(36 × 6) = 6√6 cm.
Jadi, jarak titik B ke garis EG adalah 6√6 cm.
3. Bagaimana cara menentukan sudut antara dua bidang yang saling berpotongan? Jelaskan dan berikan ilustrasi singkat jika diperlukan.
Jawaban:
Sudut antara dua bidang yang saling berpotongan adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis yang masing-masing terletak pada bidang tersebut dan kedua garis itu tegak lurus terhadap garis potong kedua bidang.
Langkah-langkahnya:
1. Tentukan garis potong antara kedua bidang tersebut.
2. Ambil sebuah titik P pada garis potong.
3. Dari titik P, buat garis g₁ yang tegak lurus garis potong dan terletak pada bidang pertama.
4. Dari titik P, buat garis g₂ yang tegak lurus garis potong dan terletak pada bidang kedua.
5. Sudut antara garis g₁ dan g₂ adalah sudut antara kedua bidang.
Ilustrasi: Misalkan bidang V dan bidang W berpotongan di garis k. Ambil P di garis k. Buat garis PA ⊥ k pada bidang V, dan garis PB ⊥ k pada bidang W. Sudut APB adalah sudut antara bidang V dan W.
4. Sebuah prisma tegak segitiga ABC.DEF memiliki alas berbentuk segitiga siku-siku di B, dengan AB = 3 cm, BC = 4 cm. Tinggi prisma adalah 10 cm. Hitunglah luas permukaan prisma tersebut.
Jawaban:
1. Hitung panjang sisi miring alas (AC). AC = √(AB² + BC²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm.
2. Hitung luas alas segitiga ABC. Luas alas = (1/2) × alas × tinggi = (1/2) × 3 cm × 4 cm = 6 cm².
3. Hitung keliling alas segitiga ABC. Keliling alas = AB + BC + AC = 3 cm + 4 cm + 5 cm = 12 cm.
4. Hitung luas selubung (sisi tegak) prisma. Luas selubung = Keliling alas × tinggi prisma = 12 cm × 10 cm = 120 cm².
5. Hitung luas permukaan prisma. Luas permukaan = (2 × Luas alas) + Luas selubung
Luas permukaan = (2 × 6 cm²) + 120 cm² = 12 cm² + 120 cm² = 132 cm².
Jadi, luas permukaan prisma adalah 132 cm².
5. Jelaskan bagaimana Anda dapat menentukan apakah dua garis pada bangun ruang adalah sejajar, berpotongan, atau bersilangan, tanpa melakukan perhitungan jarak atau sudut.
Jawaban:
Untuk menentukan kedudukan dua garis pada bangun ruang tanpa perhitungan:
1. Garis Sejajar: Kedua garis tidak akan pernah bertemu atau berpotongan meskipun diperpanjang tak terbatas, dan kedua garis tersebut terletak pada bidang yang sama. Contoh: Rusuk AB dan rusuk CD pada kubus.
2. Garis Berpotongan: Kedua garis memiliki satu titik persekutuan. Artinya, keduanya bertemu di satu titik. Kedua garis ini pasti terletak pada bidang yang sama. Contoh: Rusuk AB dan rusuk BC pada kubus.
3. Garis Bersilangan: Kedua garis tidak sejajar dan tidak berpotongan. Mereka tidak memiliki titik persekutuan dan tidak terletak pada bidang yang sama. Contoh: Rusuk AB dan rusuk FG pada kubus (jika AB diperpanjang, tidak akan bertemu FG).
Cukup dengan memvisualisasikan atau melihat posisi relatif kedua garis dan apakah ada bidang yang dapat memuat keduanya. Jika tidak ada bidang yang bisa memuat keduanya dan mereka juga tidak bertemu, maka mereka bersilangan.
