Apakah Anda sering merasa kesulitan saat berhadapan dengan soal-soal matematika yang melibatkan nilai mutlak? Konsep nilai mutlak seringkali menjadi tantangan tersendiri bagi banyak siswa, padahal pemahaman yang kuat akan sangat penting dalam berbagai cabang matematika lebih lanjut. Artikel ini dirancang khusus untuk membantu Anda menguasai materi persamaan nilai mutlak melalui serangkaian contoh soal yang komprehensif dan mudah dipahami. Kami akan menyajikan berbagai tipe soal, mulai dari yang dasar hingga yang lebih kompleks, lengkap dengan langkah-langkah penyelesaian yang sistematis dan penjelasan yang mendetail.
Fokus pembelajaran dalam artikel ini adalah mengembangkan kemampuan Anda dalam mengaplikasikan definisi nilai mutlak, memahami sifat-sifatnya, serta menggunakan strategi aljabar yang tepat untuk menyelesaikan persamaan yang melibatkan ekspresi nilai mutlak. Setiap ‘contoh soal matematika persamaan nilai mutlak’ yang disajikan tidak hanya memberikan jawaban akhir, tetapi juga membimbing Anda melalui setiap tahapan berpikir, memastikan Anda benar-benar memahami ‘mengapa’ dan ‘bagaimana’ sebuah solusi diperoleh. Tujuannya adalah tidak hanya untuk menghafal rumus, tetapi untuk membangun intuisi matematika yang kuat sehingga Anda mampu menghadapi variasi soal apapun.
Dengan berlatih menggunakan ‘contoh soal matematika persamaan nilai mutlak’ ini, Anda diharapkan dapat meningkatkan kepercayaan diri, mengasah keterampilan pemecahan masalah, dan pada akhirnya meraih nilai yang lebih baik dalam ujian. Latihan ini juga akan memperkuat fondasi Anda dalam aljabar, yang krusial untuk topik-topik matematika tingkat lanjut. Mari kita mulai perjalanan Anda untuk menguasai persamaan nilai mutlak dan menaklukkan setiap tantangan matematika!
Berikut adalah 30 contoh soal matematika tentang persamaan nilai mutlak, terdiri dari 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian, beserta kunci jawabannya.
—
## Soal Pilihan Ganda
1. Himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak |x| = 7 adalah…
a. {7}
b. {-7}
c. {0, 7}
d. {-7, 7}
e. Tidak ada solusi
Jawaban: d
2. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan |2x – 4| = 6 adalah…
a. x = 5 atau x = -1
b. x = -5 atau x = 1
c. x = 2 atau x = -2
d. x = 3 atau x = -3
e. x = 10 atau x = -2
Jawaban: a
3. Persamaan nilai mutlak |3x + 9| = 0 memiliki solusi x = …
a. 0
b. -3
c. 3
d. -9
e. Tidak ada solusi
Jawaban: b
4. Berapakah nilai x yang memenuhi persamaan |x + 5| = -2?
a. x = -7
b. x = -3
c. x = 7
d. x = 3
e. Tidak ada solusi
Jawaban: e
5. Salah satu solusi dari persamaan |4x – 1| = 7 adalah…
a. x = 2
b. x = 1
c. x = -1/2
d. x = -3/2
e. x = 4
Jawaban: a
6. Jika |x – 2| = |2x + 1|, maka nilai x yang mungkin adalah…
a. x = 1 atau x = -3
b. x = 1/3 atau x = -3
c. x = -1/3 atau x = -3
d. x = 1/3 atau x = 3
e. x = -1 atau x = 3
Jawaban: c
7. Persamaan 2|x + 3| = 10 ekuivalen dengan…
a. |x + 3| = 5
b. |x + 3| = 20
c. x + 3 = 5
d. x + 3 = 10
e. x + 3 = 0
Jawaban: a
8. Himpunan penyelesaian dari |x² – 4| = 0 adalah…
a. {2}
b. {-2}
c. {4}
d. {-2, 2}
e. {0, 2}
Jawaban: d
9. Nilai x yang memenuhi persamaan |x – 1| = 2x – 5 adalah…
a. x = 4
b. x = 2
c. x = 6
d. x = -4
e. Tidak ada solusi
Jawaban: a
*(Catatan: Perlu dicek syarat 2x – 5 ≥ 0, yaitu x ≥ 5/2. Jika x – 1 = 2x – 5, maka x = 4 (valid). Jika x – 1 = -(2x – 5), maka x – 1 = -2x + 5, 3x = 6, x = 2 (tidak valid karena 2 < 5/2).)*
10. Berapa banyak solusi yang dimiliki persamaan |x – 8| = 12?
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
e. Tak hingga
Jawaban: c
11. Jika |3 – x| = 5, maka nilai x adalah…
a. x = 2 atau x = -2
b. x = -2 atau x = 8
c. x = 2 atau x = 8
d. x = -2 atau x = -8
e. x = 0 atau x = 5
Jawaban: b
12. Bentuk lain dari persamaan |x + 1| = x + 1 adalah…
a. x = -1
b. x = 1
c. x ≥ -1
d. x ≤ -1
e. x = 0
Jawaban: c
*(Catatan: Ini berarti x + 1 tidak negatif, sehingga |x + 1| sama dengan x + 1.)*
13. Pernyataan yang benar tentang nilai mutlak |a| adalah…
a. |a| selalu negatif
b. |a| selalu positif
c. |a| adalah jarak a dari 0 pada garis bilangan
d. |a| = a hanya jika a < 0
e. |a| = -a hanya jika a ≥ 0
Jawaban: c
14. Jika |x + 4| = 1, maka hasil kali semua nilai x yang mungkin adalah…
a. -15
b. -16
c. 15
d. 16
e. 0
Jawaban: a
*(x + 4 = 1 → x = -3; x + 4 = -1 → x = -5. Hasil kali: (-3) * (-5) = 15. Oops, let me recheck. Ah, `15` not `-15`. Let’s assume there’s a typo in my own options, or I need to adjust it. Let’s make one of the options 15.*
*Let’s fix the question/options so the provided answer ‘a’ is correct.*
*Let’s make it: `hasil penjumlahan` rather than `hasil kali` to avoid confusion or fix option.*
*Rephrase to `hasil penjumlahan`.*
14. Jika |x + 4| = 1, maka hasil penjumlahan semua nilai x yang mungkin adalah…
a. -8
b. -6
c. -4
d. 0
e. 8
Jawaban: a
*(x + 4 = 1 → x = -3; x + 4 = -1 → x = -5. Hasil penjumlahan: (-3) + (-5) = -8.)*
15. Solusi dari persamaan |5 – 2x| = 3 adalah…
a. x = 1 atau x = 4
b. x = -1 atau x = -4
c. x = 1 atau x = -4
d. x = -1 atau x = 4
e. x = 0 atau x = 3
Jawaban: a
16. Nilai x yang memenuhi persamaan |2x – 3| = x adalah…
a. x = 1
b. x = 3
c. x = 1 atau x = 3
d. x = -1 atau x = -3
e. Tidak ada solusi
Jawaban: c
*(Catatan: Perlu dicek syarat x ≥ 0. Jika 2x – 3 = x, maka x = 3 (valid). Jika 2x – 3 = -x, maka 3x = 3, x = 1 (valid).)*
17. Jika |x| = √9, maka nilai x adalah…
a. 3
b. -3
c. 9
d. -9
e. {-3, 3}
Jawaban: e
18. Persamaan |x + 7| = |x – 3| memiliki solusi x = …
a. 0
b. -2
c. 2
d. -5
e. 5
Jawaban: b
*(x + 7 = x – 3 → 7 = -3 (tidak mungkin). x + 7 = -(x – 3) → x + 7 = -x + 3 → 2x = -4 → x = -2.)*
19. Jika 3|x| – 5 = 4, maka nilai x yang mungkin adalah…
a. x = 3 atau x = -3
b. x = 1 atau x = -1
c. x = 2 atau x = -2
d. x = 0
e. Tidak ada solusi
Jawaban: a
*(3|x| = 9 → |x| = 3 → x = 3 atau x = -3.)*
20. Berapakah hasil penjumlahan semua solusi dari persamaan |x² – 5x + 5| = 1?
a. 4
b. 5
c. 6
d. 7
e. 8
Jawaban: b
*(Kasus 1: x² – 5x + 5 = 1 → x² – 5x + 4 = 0 → (x – 1)(x – 4) = 0 → x₁ = 1, x₂ = 4.
Kasus 2: x² – 5x + 5 = -1 → x² – 5x + 6 = 0 → (x – 2)(x – 3) = 0 → x₃ = 2, x₄ = 3.
Penjumlahan semua solusi: 1 + 4 + 2 + 3 = 10. Again, let me recheck my options or adjust the question.*
*Let me change the question to get the sum as 5 for option ‘b’.*
*How about `|x² – 3x + 1| = 1`?*
*x² – 3x + 1 = 1 → x² – 3x = 0 → x(x – 3) = 0 → x = 0, x = 3.*
*x² – 3x + 1 = -1 → x² – 3x + 2 = 0 → (x – 1)(x – 2) = 0 → x = 1, x = 2.*
*Sum: 0 + 3 + 1 + 2 = 6. So ‘c’ would be the answer. I will adjust the question to match the intended answer.*
20. Berapakah hasil penjumlahan semua solusi dari persamaan |x² – 5x + 6| = 0?
a. 0
b. 5
c. 6
d. 7
e. 8
Jawaban: b
*(x² – 5x + 6 = 0 → (x – 2)(x – 3) = 0 → x₁ = 2, x₂ = 3. Penjumlahan: 2 + 3 = 5.)*
—
## Soal Isian Singkat
1. Jika |x + 3| = 5, maka nilai-nilai x yang mungkin adalah …
Jawaban: 2 dan -8
2. Solusi dari persamaan |5x – 10| = 0 adalah x = …
Jawaban: 2
3. Berapakah nilai x positif yang memenuhi persamaan |3x – 1| = 8?
Jawaban: 3
4. Persamaan |x² + 1| = 5 memiliki berapa banyak solusi real?
Jawaban: 2
*(x² + 1 = 5 → x² = 4 → x = ±2. x² + 1 = -5 → x² = -6 (tidak ada solusi real).)*
5. Hasil kali semua nilai x yang memenuhi persamaan |2x – 1| = 5 adalah …
Jawaban: -6
*(2x – 1 = 5 → 2x = 6 → x = 3. 2x – 1 = -5 → 2x = -4 → x = -2. Hasil kali: 3 * (-2) = -6.)*
—
## Soal Uraian
1. Jelaskan langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan |4x – 5| = x + 4. Berikan solusi lengkapnya.
Jawaban:
Langkah-langkah penyelesaian persamaan |4x – 5| = x + 4 adalah sebagai berikut:
1. Tetapkan Syarat untuk Ruas Kanan: Karena nilai mutlak selalu non-negatif, maka ruas kanan (x + 4) harus lebih besar dari atau sama dengan nol.
x + 4 ≥ 0
x ≥ -4
2. Selesaikan Dua Kasus:
* Kasus 1: Jika (4x – 5) positif atau nol.
4x – 5 = x + 4
4x – x = 4 + 5
3x = 9
x = 3
Periksa apakah solusi ini memenuhi syarat x ≥ -4: 3 ≥ -4, ya. Jadi, x = 3 adalah solusi yang valid.
* Kasus 2: Jika (4x – 5) negatif.
4x – 5 = -(x + 4)
4x – 5 = -x – 4
4x + x = -4 + 5
5x = 1
x = 1/5
Periksa apakah solusi ini memenuhi syarat x ≥ -4: 1/5 ≥ -4, ya. Jadi, x = 1/5 adalah solusi yang valid.
3. Tulis Himpunan Penyelesaian:
Himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah {1/5, 3}.
2. Selesaikan persamaan nilai mutlak |2x + 1| = |x – 2| dengan menunjukkan setiap langkah. Mengapa kita tidak perlu memeriksa syarat untuk ruas kanan seperti pada soal nomor 1?
Jawaban:
Langkah-langkah penyelesaian persamaan |2x + 1| = |x – 2|:
1. Kuadratkan Kedua Ruas: Karena kedua ruas adalah nilai mutlak (yang selalu non-negatif), kita bisa mengkuadratkan kedua ruas tanpa khawatir mengubah himpunan penyelesaian.
(2x + 1)² = (x – 2)²
2. Pindahkan Semua Suku ke Satu Ruas:
(2x + 1)² – (x – 2)² = 0
3. Gunakan Rumus Selisih Kuadrat (a² – b² = (a – b)(a + b)):
[(2x + 1) – (x – 2)][(2x + 1) + (x – 2)] = 0
[2x + 1 – x + 2][2x + 1 + x – 2] = 0
(x + 3)(3x – 1) = 0
4. Selesaikan untuk x:
* x + 3 = 0 → x = -3
* 3x – 1 = 0 → 3x = 1 → x = 1/3
5. Tulis Himpunan Penyelesaian:
Himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah {-3, 1/3}.
Penjelasan mengapa tidak perlu memeriksa syarat untuk ruas kanan:
Pada persamaan jenis |f(x)| = |g(x)|, kedua ruas (yaitu |f(x)| dan |g(x)|) sudah pasti bernilai non-negatif karena keduanya adalah nilai mutlak. Oleh karena itu, kita tidak perlu menambahkan syarat bahwa salah satu ruas harus non-negatif (seperti g(x) ≥ 0) karena syarat tersebut sudah secara inheren terpenuhi oleh sifat nilai mutlak itu sendiri. Semua solusi yang ditemukan dari proses pengkuadratan kedua ruas akan menjadi solusi yang valid.
3. Sebuah pabrik makanan memiliki mesin pengisi kemasan yang dirancang untuk mengisi 500 gram makanan. Namun, mesin tersebut memiliki toleransi kesalahan sebesar 5 gram. Tuliskan persamaan nilai mutlak yang merepresentasikan batas berat minimum dan maksimum isi kemasan yang dapat diterima, kemudian tentukan batas-batas berat tersebut.
Jawaban:
Misalkan w adalah berat isi kemasan yang sebenarnya.
Berat yang diinginkan adalah 500 gram, dan toleransi kesalahannya adalah 5 gram. Ini berarti selisih antara berat aktual (w) dan berat target (500) tidak boleh melebihi 5 gram.
Kita dapat merepresentasikan situasi ini dengan persamaan nilai mutlak:
|w – 500| = 5
Untuk menentukan batas-batas berat tersebut, kita selesaikan persamaan ini:
* Kasus 1: w – 500 = 5
w = 500 + 5
w = 505
* Kasus 2: w – 500 = -5
w = 500 – 5
w = 495
Jadi, batas berat minimum isi kemasan yang dapat diterima adalah 495 gram, dan batas berat maksimumnya adalah 505 gram.
4. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan |x + 3| + |x – 2| = 7.
Jawaban:
Untuk menyelesaikan persamaan |x + 3| + |x – 2| = 7, kita perlu memecah garis bilangan menjadi interval berdasarkan titik kritis (nilai-nilai x yang membuat ekspresi di dalam nilai mutlak menjadi nol). Titik kritisnya adalah x = -3 (dari x + 3 = 0) dan x = 2 (dari x – 2 = 0).
Interval 1: x < -3
Dalam interval ini, (x + 3) negatif dan (x – 2) negatif.
-(x + 3) + (-(x – 2)) = 7
-x – 3 – x + 2 = 7
-2x – 1 = 7
-2x = 8
x = -4
(Solusi x = -4 valid karena -4 < -3)
Interval 2: -3 ≤ x < 2
Dalam interval ini, (x + 3) positif atau nol dan (x – 2) negatif.
(x + 3) + (-(x – 2)) = 7
x + 3 – x + 2 = 7
5 = 7
(Pernyataan ini salah, jadi tidak ada solusi di interval ini.)
Interval 3: x ≥ 2
Dalam interval ini, (x + 3) positif atau nol dan (x – 2) positif atau nol.
(x + 3) + (x – 2) = 7
2x + 1 = 7
2x = 6
x = 3
(Solusi x = 3 valid karena 3 ≥ 2)
Himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah {-4, 3}.
5. Jelaskan secara singkat apa itu nilai mutlak dan mengapa persamaan nilai mutlak seringkali memiliki dua solusi.
Jawaban:
Nilai Mutlak
Nilai mutlak (dilambangkan dengan | |) dari suatu bilangan adalah jarak bilangan tersebut dari nol pada garis bilangan, tanpa mempertimbangkan arahnya. Oleh karena itu, nilai mutlak selalu berupa bilangan non-negatif (positif atau nol).
Contoh: |5| = 5, |-5| = 5, |0| = 0.
Mengapa Persamaan Nilai Mutlak Seringkali Memiliki Dua Solusi
Persamaan nilai mutlak seringkali memiliki dua solusi karena ada dua bilangan yang berjarak sama dari nol pada garis bilangan: satu di sisi positif dan satu di sisi negatif.
Misalnya, untuk persamaan |x| = a (dengan a > 0):
Ini berarti ‘x’ berjarak ‘a’ satuan dari nol.
1. x = a: Bilangan ‘a’ itu sendiri memiliki jarak ‘a’ dari nol.
2. x = -a: Bilangan ‘-a’ juga memiliki jarak ‘a’ dari nol.
Sebagai contoh, jika |x| = 3, maka x bisa 3 (karena jarak 3 dari 0 adalah 3) atau x bisa -3 (karena jarak -3 dari 0 juga adalah 3).
Kedua kemungkinan ini (nilai di dalam mutlak positif atau negatif) yang mengarah pada dua solusi yang berbeda untuk banyak persamaan nilai mutlak. Namun, perlu dicatat bahwa beberapa persamaan nilai mutlak dapat memiliki satu solusi (misalnya |x|=0) atau tidak ada solusi sama sekali (misalnya |x|=-5).
