Apakah Anda sedang mencari cara efektif untuk menguasai materi barisan dan deret geometri dalam pelajaran matematika? Artikel ini adalah panduan lengkap Anda! Kami menyajikan berbagai contoh soal matematika barisan dan deret geometri yang dirancang khusus untuk membantu Anda memahami konsep fundamental hingga aplikasi yang lebih kompleks. Mulai dari identifikasi ciri-ciri barisan geometri, penentuan suku ke-n, hingga perhitungan jumlah n suku pertama deret geometri tak hingga, setiap soal disajikan dengan pembahasan langkah demi langkah yang mudah diikuti.
Fokus pembelajaran kami adalah memperkuat pemahaman Anda terhadap rumus-rumus kunci, seperti rumus suku ke-n (Un = a * r^(n-1)) dan rumus jumlah n suku pertama (Sn = a(r^n – 1)/(r – 1)). Kami juga menyertakan soal-soal aplikasi yang menantang, yang akan mengasah kemampuan Anda dalam menerapkan konsep barisan dan deret geometri pada permasalahan sehari-hari atau dalam konteks olimpiade. Tujuan utama dari kumpulan latihan soal ini adalah untuk meningkatkan kepercayaan diri Anda dalam menghadapi ujian, memperdalam pemahaman materi, dan melatih logika berpikir matematis. Siapkan diri Anda untuk menguasai barisan dan deret geometri sepenuhnya dan raih nilai terbaik!
Berikut adalah 30 contoh soal mengenai barisan dan deret geometri, lengkap dengan kunci jawaban dan format yang diminta.
—
## Soal Pilihan Ganda
1. Suku-suku dari suatu barisan geometri adalah 2, 6, 18, 54, … Rasio dari barisan tersebut adalah…
a. 2
b. 3
c. 4
d. 6
Jawaban: b
2. Diketahui barisan geometri dengan suku pertama (a) = 5 dan rasio (r) = 2. Suku ke-4 dari barisan tersebut adalah…
a. 20
b. 40
c. 80
d. 100
Jawaban: b
3. Suku ke-n dari barisan geometri dinyatakan dengan rumus U_n = a ⋅ r^(n-1). Jika suku pertama adalah 3 dan rasio adalah 4, suku ke-3 adalah…
a. 12
b. 36
c. 48
d. 64
Jawaban: c
4. Barisan 1/2, 1, 2, 4, … Suku ke-6 dari barisan tersebut adalah…
a. 8
b. 16
c. 32
d. 64
Jawaban: b
5. Suku pertama suatu barisan geometri adalah 9 dan suku ke-3 adalah 81. Rasio barisan tersebut adalah…
a. 3
b. 6
c. 9
d. 27
Jawaban: a
6. Jumlah 3 suku pertama dari deret geometri 2 + 6 + 18 + … adalah…
a. 20
b. 26
c. 36
d. 54
Jawaban: b
7. Jika suku pertama suatu deret geometri adalah 1 dan rasio adalah 3, jumlah 4 suku pertama deret tersebut adalah…
a. 13
b. 27
c. 40
d. 81
Jawaban: c
8. Suatu deret geometri memiliki rasio 1/2 dan suku pertama 16. Jumlah tak hingga deret tersebut adalah…
a. 16
b. 24
c. 32
d. 64
Jawaban: c
9. Deret geometri tak hingga 10 + 5 + 2,5 + … Jumlah deret tersebut adalah…
a. 15
b. 20
c. 25
d. 30
Jawaban: b
10. Suatu barisan geometri memiliki suku ke-2 adalah 6 dan suku ke-5 adalah 48. Suku pertama barisan tersebut adalah…
a. 2
b. 3
c. 4
d. 6
Jawaban: b
11. Antara bilangan 3 dan 768 akan disisipkan 3 bilangan sehingga membentuk barisan geometri. Rasio barisan yang terbentuk adalah…
a. 2
b. 3
c. 4
d. 5
Jawaban: c
12. Deret 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + … adalah deret geometri. Suku ke-5 deret ini adalah…
a. 1/81
b. 1/243
c. 1/9
d. 1/3
Jawaban: a
13. Rumus suku ke-n dari barisan 4, 8, 16, 32, … adalah…
a. U_n = 2^(n+1)
b. U_n = 4 * 2^(n-1)
c. U_n = 2^n
d. U_n = 4n
Jawaban: b
14. Jumlah 5 suku pertama dari deret geometri dengan suku pertama 3 dan rasio -2 adalah…
a. -33
b. -11
c. 11
d. 33
Jawaban: d
15. Sebuah tali dipotong menjadi 5 bagian dengan panjang membentuk barisan geometri. Jika potongan tali terpendek adalah 4 cm dan potongan tali terpanjang adalah 64 cm, panjang tali semula adalah…
a. 100 cm
b. 120 cm
c. 124 cm
d. 132 cm
Jawaban: c
16. Agar deret geometri tak hingga a + ar + ar² + … konvergen, syarat untuk rasio (r) adalah…
a. r > 1
b. r < -1
c. |r| > 1
d. |r| < 1
Jawaban: d
17. Diketahui barisan geometri dengan suku pertama 8 dan suku ke-3 adalah 2. Rasio barisan tersebut (ambil yang positif) adalah…
a. 1/4
b. 1/2
c. 2
d. 4
Jawaban: b
18. Hasil kali tiga suku pertama dari barisan geometri adalah 27. Jika suku pertama adalah 1, maka rasionya adalah…
a. 1
b. 2
c. 3
d. 9
Jawaban: c
19. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 12 meter. Setiap kali memantul, tingginya menjadi 2/3 dari tinggi sebelumnya. Tinggi pantulan ke-3 adalah…
a. 8 meter
b. 16/3 meter
c. 32/9 meter
d. 64/27 meter
Jawaban: c
20. Jika suku ke-n dari suatu barisan geometri adalah 6 * 2^(n-1), maka suku pertama dan rasionya berturut-turut adalah…
a. 6 dan 2
b. 2 dan 6
c. 3 dan 2
d. 2 dan 3
Jawaban: a
—
## Soal Isian Singkat
1. Rasio dari barisan geometri 108, 36, 12, … adalah …
Jawaban: 1/3
2. Suku ke-5 dari barisan geometri dengan suku pertama 2 dan rasio 3 adalah …
Jawaban: 162
3. Jumlah 3 suku pertama dari deret geometri dengan suku pertama 4 dan rasio 1/2 adalah …
Jawaban: 7
4. Jika suku ke-n suatu barisan geometri adalah 5 ⋅ 2^(n-1), maka suku pertama barisan tersebut adalah …
Jawaban: 5
5. Sebuah deret geometri tak hingga memiliki jumlah 45. Jika suku pertamanya adalah 15, maka rasionya adalah …
Jawaban: 2/3
—
## Soal Uraian
1. Diketahui suatu barisan geometri memiliki suku ke-2 adalah 10 dan suku ke-5 adalah 1250. Tentukan suku pertama (a) dan rasio (r) dari barisan tersebut.
Jawaban:
Diketahui:
U₂ = 10
U₅ = 1250
Rumus umum suku ke-n barisan geometri adalah U_n = a ⋅ r^(n-1).
U₂ = a ⋅ r¹ = 10
U₅ = a ⋅ r⁴ = 1250
Bagi U₅ dengan U₂:
(a ⋅ r⁴) / (a ⋅ r¹) = 1250 / 10
r³ = 125
r = ³√125
r = 5
Substitusikan r = 5 ke U₂:
a ⋅ 5 = 10
a = 10 ÷ 5
a = 2
Jadi, suku pertama adalah 2 dan rasio adalah 5.
2. Jelaskan kapan suatu deret geometri tak hingga dikatakan konvergen dan berikan rumus untuk menghitung jumlahnya.
Jawaban:
Suatu deret geometri tak hingga dikatakan konvergen (memiliki jumlah tertentu) jika nilai mutlak rasionya (|r|) kurang dari 1, yaitu -1 < r < 1. Jika |r| ≥ 1, maka deret tersebut divergen (tidak memiliki jumlah tertentu).
Rumus untuk menghitung jumlah deret geometri tak hingga yang konvergen adalah:
S_∞ = a / (1 – r)
di mana a adalah suku pertama dan r adalah rasio.
3. Sebuah bakteri membelah diri menjadi 3 setiap 20 menit. Jika mula-mula terdapat 5 bakteri, berapa banyak bakteri setelah 2 jam? Jelaskan langkah-langkahnya.
Jawaban:
Diketahui:
Jumlah bakteri awal (a) = 5
Rasio pembelahan (r) = 3 (membelah menjadi 3)
Interval pembelahan = 20 menit
Total waktu = 2 jam = 120 menit
Langkah-langkah:
1. Hitung berapa kali pembelahan terjadi (n):
n = Total waktu / Interval pembelahan
n = 120 menit / 20 menit = 6 kali pembelahan.
2. Tentukan suku ke-(n+1) untuk mengetahui jumlah bakteri setelah n kali pembelahan:
Karena jumlah awal adalah suku pertama (n=0 pembelahan), setelah 1 kali pembelahan adalah U₂, dst. Maka, setelah 6 kali pembelahan, itu adalah suku ke-7 (U₇).
Rumus U_k = a ⋅ r^(k-1). Di sini k=n+1. Atau bisa juga dianggap U_n = a ⋅ r^n dengan n adalah jumlah pembelahan.
U_n = a ⋅ r^n
U₆ = 5 ⋅ 3⁶
3. Hitung nilai U₆:
3⁶ = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 729
U₆ = 5 ⋅ 729
U₆ = 3645
Jadi, setelah 2 jam akan ada 3645 bakteri.
4. Diberikan deret geometri 81 + 27 + 9 + … Tentukan jumlah 5 suku pertamanya dan jumlah deret tak hingga deret tersebut.
Jawaban:
Diketahui:
Suku pertama (a) = 81
Rasio (r) = U₂ / U₁ = 27 / 81 = 1/3
a. Jumlah 5 suku pertama (S₅):
Karena r = 1/3 < 1, gunakan rumus S_n = a ⋅ (1 - r^n) / (1 - r)
S₅ = 81 ⋅ (1 – (1/3)⁵) / (1 – 1/3)
S₅ = 81 ⋅ (1 – 1/243) / (2/3)
S₅ = 81 ⋅ ( (243 – 1) / 243 ) / (2/3)
S₅ = 81 ⋅ (242 / 243) / (2/3)
S₅ = (81 ⋅ 242 / 243) ⋅ (3/2)
S₅ = (1 ⋅ 242 / 3) ⋅ (3/2) (karena 81 dan 243 dibagi 81 menjadi 1 dan 3)
S₅ = (242 / 3) ⋅ (3/2)
S₅ = 242 / 2
S₅ = 121
b. Jumlah deret tak hingga (S_∞):
Karena |r| = 1/3 < 1, deret ini konvergen.
S_∞ = a / (1 – r)
S_∞ = 81 / (1 – 1/3)
S_∞ = 81 / (2/3)
S_∞ = 81 ⋅ (3/2)
S_∞ = 243 / 2
S_∞ = 121,5
Jadi, jumlah 5 suku pertamanya adalah 121 dan jumlah deret tak hingganya adalah 121,5.
5. Sebuah tali dipotong menjadi 6 bagian. Panjang potongan tali tersebut membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan terpendek adalah 7 cm dan potongan terpanjang adalah 224 cm, hitunglah panjang total tali sebelum dipotong.
Jawaban:
Diketahui:
Jumlah potongan (n) = 6
Potongan terpendek = Suku pertama (a) = 7 cm
Potongan terpanjang = Suku keenam (U₆) = 224 cm
Langkah-langkah:
1. Cari rasio (r):
U_n = a ⋅ r^(n-1)
U₆ = a ⋅ r^(6-1)
224 = 7 ⋅ r⁵
r⁵ = 224 ÷ 7
r⁵ = 32
r = ⁵√32
r = 2
2. Hitung panjang total tali (S₆):
Karena r = 2 > 1, gunakan rumus S_n = a ⋅ (r^n – 1) / (r – 1)
S₆ = 7 ⋅ (2⁶ – 1) / (2 – 1)
S₆ = 7 ⋅ (64 – 1) / 1
S₆ = 7 ⋅ 63
S₆ = 441
Jadi, panjang total tali sebelum dipotong adalah 441 cm.
