Persamaan kuadrat adalah salah satu fondasi penting dalam matematika yang seringkali menjadi tantangan bagi banyak pelajar. Memahami konsep dan mampu menyelesaikan soal-soalnya adalah kunci untuk menguasai materi yang lebih kompleks di jenjang selanjutnya. Artikel ini hadir sebagai solusi komprehensif bagi Anda yang sedang mencari ‘contoh soal matematika persamaan kuadrat’ untuk memperdalam pemahaman. Kami menyajikan berbagai jenis soal, mulai dari tingkat dasar hingga menengah, yang mencakup metode penyelesaian dengan pemfaktoran, rumus ABC, hingga melengkapi kuadrat sempurna.
Orientasi contoh soal dalam artikel ini dirancang untuk memandu Anda secara bertahap. Setiap soal disajikan dengan fokus pada pengembangan pemahaman konseptual, mulai dari cara menentukan akar-akar persamaan, memahami diskriminan untuk mengetahui jenis akar, hingga membentuk persamaan kuadrat baru dari akar-akar yang diketahui. Tujuan utama dari latihan soal ini adalah untuk membantu Anda menguasai setiap aspek persamaan kuadrat, meningkatkan kemampuan problem-solving, serta mempersiapkan diri secara optimal untuk ujian sekolah maupun seleksi masuk perguruan tinggi. Dengan pembahasan yang jelas dan langkah-langkah yang mudah diikuti, Anda akan mendapatkan pengalaman belajar yang efektif dan sistematis, membangun kepercayaan diri dalam menghadapi soal-soal persamaan kuadrat.
Tentu, berikut adalah 30 contoh soal matematika tentang persamaan kuadrat beserta kunci jawabannya, dengan rincian 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian.
—
### Soal Pilihan Ganda
1. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah…
a. ax + b = 0
b. ax² + bx + c = 0
c. ax³ + bx² + cx + d = 0
d. ax² + by² = c
Jawaban: b
2. Manakah di antara persamaan berikut yang bukan merupakan persamaan kuadrat?
a. x² – 4x + 3 = 0
b. 2x² + 5x = 0
c. 3x – 7 = 0
d. x² – 9 = 0
Jawaban: c
3. Nilai koefisien a, b, dan c dari persamaan 3x² – 5x + 2 = 0 adalah…
a. a=3, b=5, c=2
b. a=3, b=-5, c=2
c. a=3, b=-5, c=-2
d. a=-3, b=5, c=-2
Jawaban: b
4. Salah satu akar dari persamaan x² – 6x + 8 = 0 adalah…
a. 1
b. 2
c. 3
d. 6
Jawaban: b
5. Himpunan penyelesaian dari persamaan x² – 9 = 0 adalah…
a. {3}
b. {-3}
c. {-3, 3}
d. {0, 3}
Jawaban: c
6. Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari x² – 7x + 10 = 0, maka nilai x₁ + x₂ adalah…
a. 10
b. -10
c. 7
d. -7
Jawaban: c
7. Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari x² + 5x – 6 = 0, maka nilai x₁ * x₂ adalah…
a. 5
b. -5
c. 6
d. -6
Jawaban: d
8. Nilai diskriminan (D) dari persamaan 2x² + 3x – 2 = 0 adalah…
a. 9
b. 16
c. 25
d. 0
Jawaban: c
9. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah 2 dan 3 adalah…
a. x² – 5x + 6 = 0
b. x² + 5x + 6 = 0
c. x² – x + 6 = 0
d. x² + x – 6 = 0
Jawaban: a
10. Jika nilai diskriminan suatu persamaan kuadrat lebih dari nol (D > 0), maka persamaan tersebut memiliki…
a. Dua akar real kembar
b. Dua akar real berbeda
c. Akar-akar imajiner
d. Tidak memiliki akar
Jawaban: b
11. Akar-akar persamaan 2x² – 4x = 0 adalah…
a. x=0 dan x=2
b. x=0 dan x=-2
c. x=2 dan x=4
d. x=0 dan x=4
Jawaban: a
12. Bentuk melengkapkan kuadrat sempurna dari x² + 6x = 0 adalah…
a. (x+3)² – 9 = 0
b. (x+3)² + 9 = 0
c. (x-3)² – 9 = 0
d. (x-3)² + 9 = 0
Jawaban: a
13. Rumus kuadrat untuk mencari akar-akar persamaan ax² + bx + c = 0 adalah…
a. x = [-b ± √(b² – 4ac)] / (2a)
b. x = [b ± √(b² – 4ac)] / (2a)
c. x = [-b ± √(b² + 4ac)] / (2a)
d. x = [b ± √(b² + 4ac)] / (2a)
Jawaban: a
14. Diketahui persamaan kuadrat x² – px + 12 = 0. Jika salah satu akarnya adalah 3, maka nilai p adalah…
a. 7
b. 4
c. -7
d. -4
Jawaban: a
15. Persamaan kuadrat yang memiliki akar kembar adalah…
a. x² + 4x + 4 = 0
b. x² – 4x + 3 = 0
c. x² + x – 2 = 0
d. x² + 2x + 5 = 0
Jawaban: a
16. Titik potong grafik fungsi kuadrat y = x² – 5x + 6 terhadap sumbu Y adalah…
a. (0, -6)
b. (0, 6)
c. (-6, 0)
d. (6, 0)
Jawaban: b
17. Jika persamaan x² + kx + 9 = 0 memiliki akar kembar, maka nilai k adalah…
a. 3
b. 6
c. ±3
d. ±6
Jawaban: d
18. Jumlah akar-akar dari persamaan 3x² + 6x – 9 = 0 adalah…
a. 2
b. -2
c. 3
d. -3
Jawaban: b
19. Hasil kali akar-akar dari persamaan 2x² – 8x + 6 = 0 adalah…
a. 4
b. -4
c. 3
d. -3
Jawaban: c
20. Jika akar-akar persamaan kuadrat x² + bx + c = 0 adalah -2 dan 5, maka nilai b dan c adalah…
a. b=3, c=-10
b. b=-3, c=-10
c. b=3, c=10
d. b=-3, c=10
Jawaban: b
—
### Soal Isian Singkat
1. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax² + bx + c = 0. Nilai dari a tidak boleh sama dengan …
Jawaban: 0
2. Jika x² – 7x + 12 = 0, maka salah satu akar dari persamaan tersebut adalah … (jawab dengan angka bulat positif)
Jawaban: 3 (atau 4)
3. Nilai diskriminan (D) dari persamaan x² + 10x + 25 = 0 adalah …
Jawaban: 0
4. Jika akar-akar suatu persamaan kuadrat adalah -1 dan 4, maka persamaan kuadratnya adalah x² – 3x – … = 0.
Jawaban: 4
5. Jumlah akar-akar (x₁ + x₂) dari persamaan 5x² – 15x + 10 = 0 adalah …
Jawaban: 3
—
### Soal Uraian
1. Jelaskan tiga metode utama yang dapat digunakan untuk menemukan akar-akar (penyelesaian) dari persamaan kuadrat.
Jawaban: Tiga metode utama untuk menemukan akar-akar persamaan kuadrat adalah:
1. Faktorisasi: Mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk perkalian dua faktor linear. Contoh: x² – 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0, sehingga x=2 atau x=3.
2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna: Mengubah persamaan ke bentuk (x+p)² = q, lalu mencari akar-akarnya. Metode ini melibatkan penambahan suatu konstanta pada kedua sisi persamaan agar salah satu sisi menjadi bentuk kuadrat sempurna.
3. Rumus Kuadrat (Rumus ABC): Menggunakan rumus x = [-b ± √(b² – 4ac)] / (2a) untuk langsung mencari akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0.
2. Bagaimana nilai diskriminan (D = b² – 4ac) memengaruhi jenis akar-akar suatu persamaan kuadrat? Jelaskan.
Jawaban: Nilai diskriminan (D) menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat sebagai berikut:
* Jika D > 0: Persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang berbeda.
* Jika D = 0: Persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang kembar (atau satu akar real).
* Jika D < 0: Persamaan kuadrat tidak memiliki akar real (akar-akarnya adalah bilangan kompleks/imajiner).
3. Diberikan persamaan kuadrat x² + 2x – 15 = 0. Tentukan akar-akar persamaan tersebut menggunakan metode faktorisasi.
Jawaban:
Persamaan: x² + 2x – 15 = 0
Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya -15 dan jika dijumlahkan hasilnya 2. Bilangan tersebut adalah 5 dan -3.
Maka, (x + 5)(x – 3) = 0
Dari sini kita dapatkan:
x + 5 = 0 → x₁ = -5
x – 3 = 0 → x₂ = 3
Jadi, akar-akar persamaan tersebut adalah x₁ = -5 dan x₂ = 3.
4. Jelaskan hubungan antara koefisien a, b, dan c dalam persamaan ax² + bx + c = 0 dengan jumlah dan hasil kali akar-akarnya (x₁ dan x₂).
Jawaban: Untuk persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0:
* Jumlah Akar (x₁ + x₂): Hubungannya adalah x₁ + x₂ = -b/a. Ini berarti jumlah akar-akar adalah negatif dari koefisien b dibagi dengan koefisien a.
* Hasil Kali Akar (x₁ * x₂): Hubungannya adalah x₁ * x₂ = c/a. Ini berarti hasil kali akar-akar adalah konstanta c dibagi dengan koefisien a.
5. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah 4 dan -5.
Jawaban:
Diketahui akar-akar x₁ = 4 dan x₂ = -5.
Ada dua cara:
Cara 1 (Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar):
x₁ + x₂ = 4 + (-5) = -1
x₁ * x₂ = 4 * (-5) = -20
Persamaan kuadrat baru adalah x² – (x₁ + x₂)x + (x₁ * x₂) = 0
x² – (-1)x + (-20) = 0
x² + x – 20 = 0
Cara 2 (Menggunakan faktorisasi):
(x – x₁)(x – x₂) = 0
(x – 4)(x – (-5)) = 0
(x – 4)(x + 5) = 0
x² + 5x – 4x – 20 = 0
x² + x – 20 = 0
Jadi, persamaan kuadrat baru adalah x² + x – 20 = 0.
