Apakah Anda seorang siswa SMA yang sedang berjuang memahami seluk-beluk trigonometri? Atau mungkin Anda sedang mencari latihan soal yang komprehensif untuk mengasah kemampuan Anda? Artikel ini hadir sebagai solusi tepat untuk Anda! Kami menyajikan berbagai contoh soal matematika SMA trigonometri yang dirancang khusus untuk membantu Anda menguasai materi ini dari dasar hingga tingkat lanjut.
Latihan soal yang kami kumpulkan mencakup berbagai tema pembelajaran penting dalam trigonometri, mulai dari pengenalan rasio trigonometri dasar (sinus, kosinus, tangen), penggunaan identitas trigonometri, penyelesaian persamaan trigonometri, hingga aplikasi aturan sinus dan kosinus dalam pemecahan masalah segitiga. Setiap contoh soal trigonometri disajikan dengan penjelasan yang mudah dipahami dan langkah-langkah penyelesaian yang terperinci, sehingga Anda tidak hanya mengetahui jawabannya, tetapi juga memahami logikanya. Tingkat kesulitan soal bervariasi, mulai dari soal-soal fundamental untuk membangun pemahaman konsep hingga soal-soal tingkat tinggi yang menantang kemampuan analisis dan penerapan Anda.
Tujuan utama dari kumpulan soal trigonometri SMA ini adalah untuk memperkuat pemahaman konseptual Anda, meningkatkan keterampilan pemecahan masalah, dan membangun kepercayaan diri Anda dalam menghadapi ujian. Baik untuk persiapan ulangan harian, Penilaian Akhir Tahun (PAT), bahkan untuk seleksi masuk perguruan tinggi seperti UTBK, latihan soal ini akan menjadi panduan belajar yang sangat berharga. Jangan biarkan trigonometri menjadi momok yang menakutkan, mari kita taklukkan bersama melalui latihan yang sistematis dan efektif!
Berikut adalah 30 contoh soal matematika SMA tentang Trigonometri, terdiri dari 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian, beserta kunci jawabannya.
—
## Soal Pilihan Ganda
1. Diketahui sebuah segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku di B. Jika panjang sisi AB = 8 cm dan AC = 10 cm, maka nilai sin C adalah…
a. 3/5
b. 4/5
c. 3/4
d. 8/6
Jawaban: b
2. Nilai dari cos 150° adalah…
a. 1/2
b. -1/2
c. ½√3
d. -½√3
Jawaban: d
3. Jika sin α = 5/13 dan α berada di kuadran II, maka nilai tan α adalah…
a. 5/12
b. -5/12
c. 12/5
d. -12/5
Jawaban: b
4. Bentuk sederhana dari (1 – cos²x) / (sin x cos x) adalah…
a. tan x
b. cot x
c. sin x
d. cos x
Jawaban: a
5. Dalam sebuah segitiga ABC, diketahui ∠A = 30°, ∠B = 45°, dan sisi a = 8 cm. Panjang sisi b adalah…
a. 8√2 cm
b. 4√2 cm
c. 8√3 cm
d. 4√3 cm
Jawaban: a
6. Diketahui segitiga PQR dengan panjang sisi p = 10 cm, q = 12 cm, dan ∠R = 60°. Panjang sisi r adalah…
a. 2√31 cm
b. 4√31 cm
c. 2√34 cm
d. 4√34 cm
Jawaban: a
7. Luas segitiga ABC yang memiliki sisi a = 6 cm, b = 10 cm, dan ∠C = 150° adalah…
a. 15 cm²
b. 15√3 cm²
c. 30 cm²
d. 30√3 cm²
Jawaban: a
8. Periode dari fungsi y = 2 sin (3x – 30°) adalah…
a. 360°
b. 180°
c. 120°
d. 90°
Jawaban: c
9. Himpunan penyelesaian dari sin x = 1/2 untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah…
a. {30°, 150°}
b. {30°, 210°}
c. {60°, 120°}
d. {60°, 300°}
Jawaban: a
10. Nilai dari sin 75° adalah…
a. ¼(√6 + √2)
b. ¼(√6 – √2)
c. ½(√3 + 1)
d. ½(√3 – 1)
Jawaban: a
11. Jika tan A = 3 dan tan B = 2, maka nilai tan (A – B) adalah…
a. 1/7
b. 5/7
c. 1
d. -1/7
Jawaban: a
12. Nilai dari cos 2A jika cos A = 4/5 adalah…
a. 7/25
b. 18/25
c. 24/25
d. 32/25
Jawaban: a
13. Jika 3 tan²x – 1 = 0, maka nilai tan x yang mungkin adalah…
a. 1/3
b. 1/√3
c. √3
d. 1
Jawaban: b
14. Jika sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B sejauh 80 km dengan arah 030° (terhadap utara), kemudian berlayar ke pelabuhan C sejauh 60 km dengan arah 150°, jarak antara pelabuhan A dan C adalah…
a. 20√13 km
b. 40√13 km
c. 20√7 km
d. 40√7 km
Jawaban: a
15. Bentuk 2 sin 3x cos 2x dapat diubah menjadi…
a. sin 5x + sin x
b. sin 5x – sin x
c. cos 5x + cos x
d. cos 5x – cos x
Jawaban: a
16. Sudut 210° setara dengan berapa radian?
a. 7π/6 radian
b. 5π/6 radian
c. 4π/3 radian
d. 3π/2 radian
Jawaban: a
17. Jika cos x = 1/3 dan x adalah sudut lancip, maka nilai dari sin (90° – x) adalah…
a. 1/3
b. 2√2 / 3
c. √3 / 3
d. 1/2
Jawaban: a
18. Amplitudo dari fungsi y = -3 cos (2x + 45°) adalah…
a. -3
b. 3
c. 2
d. -2
Jawaban: b
19. Bentuk sederhana dari sin (x + 30°) + sin (x – 30°) adalah…
a. sin x
b. cos x
c. √3 sin x
d. √3 cos x
Jawaban: c
20. Sebuah menara tingginya 100 meter. Dari titik di tanah, puncak menara terlihat dengan sudut elevasi 45°. Jarak titik tersebut ke dasar menara adalah…
a. 50 meter
b. 100 meter
c. 100√2 meter
d. 100√3 meter
Jawaban: b
—
## Soal Isian Singkat
1. Nilai dari sin 270° adalah …
Jawaban: -1
2. Jika tan x = 1 dan x di kuadran III, maka nilai dari sin x adalah …
Jawaban: -½√2
3. Luas sebuah juring lingkaran dengan jari-jari 10 cm dan sudut pusat 72° adalah … π cm²
Jawaban: 20
4. Jika 4 sin²x – 1 = 0 dan 0° ≤ x ≤ 90°, maka nilai x adalah …
Jawaban: 30°
5. Bentuk sederhana dari (sin A + cos A)² – 1 adalah …
Jawaban: sin 2A atau 2 sin A cos A
—
## Soal Uraian
1. Buktikan identitas trigonometri berikut: (tan x + cot x) cos²x = cot x
Jawaban:
Kita mulai dari ruas kiri:
(tan x + cot x) cos²x
= (sin x / cos x + cos x / sin x) cos²x
= ((sin²x + cos²x) / (sin x cos x)) cos²x
= (1 / (sin x cos x)) cos²x
= cos x / sin x
= cot x
Terbukti bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan.
2. Tentukan semua nilai x yang memenuhi persamaan 2 cos x – √3 = 0 untuk interval 0° ≤ x ≤ 360°.
Jawaban:
2 cos x – √3 = 0
2 cos x = √3
cos x = √3 / 2
Nilai cos x = √3 / 2 positif, sehingga x berada di kuadran I atau IV.
Sudut istimewa yang memiliki nilai cos adalah 30°.
Untuk kuadran I: x = 30°
Untuk kuadran IV: x = (360° – 30°) = 330°
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {30°, 330°}.
3. Sebuah tiang bendera patah akibat angin dan puncaknya menyentuh tanah pada jarak 12 meter dari pangkal tiang. Jika sudut yang dibentuk puncak tiang dengan tanah adalah 30°, hitunglah tinggi tiang bendera sebelum patah.
Jawaban:
Misalkan tinggi tiang sebelum patah adalah h.
Bagian tiang yang menyentuh tanah membentuk segitiga siku-siku.
Jarak dari pangkal tiang ke puncak yang menyentuh tanah = 12 meter (sisi samping sudut).
Sudut elevasi = 30°.
Kita dapat mencari bagian tiang yang masih berdiri (sisi depan sudut) menggunakan tan 30°:
tan 30° = tinggi_berdiri / 12
1/√3 = tinggi_berdiri / 12
tinggi_berdiri = 12/√3 = 4√3 meter.
Kemudian, kita cari panjang bagian tiang yang patah (sisi miring) menggunakan cos 30°:
cos 30° = 12 / panjang_patah
√3 / 2 = 12 / panjang_patah
panjang_patah = 24/√3 = 8√3 meter.
Tinggi tiang sebelum patah = tinggi_berdiri + panjang_patah
= 4√3 + 8√3
= 12√3 meter.
Jadi, tinggi tiang bendera sebelum patah adalah 12√3 meter.
4. Jelaskan karakteristik utama (amplitudo, periode, nilai maksimum/minimum) dari fungsi y = 4 sin (2x) dan sketsakan grafiknya untuk satu periode.
Jawaban:
Fungsi: y = 4 sin (2x)
* Amplitudo (A): Nilai mutlak dari koefisien sin atau cos. A = |4| = 4. Ini berarti grafik berayun 4 satuan dari garis tengahnya.
* Periode (P): Untuk fungsi y = A sin (Bx + C) atau y = A cos (Bx + C), periode P = 360° / |B| atau 2π / |B|. Dalam kasus ini, B = 2, jadi P = 360° / 2 = 180°. Ini berarti fungsi akan mengulang polanya setiap 180°.
* Nilai Maksimum: A = 4.
* Nilai Minimum: -A = -4.
Sketsa Grafik (untuk satu periode dari 0° sampai 180°):
1. Mulai: Pada x = 0°, y = 4 sin (0°) = 0.
2. Mencapai Maksimum: Pada x = 1/4 periode = 1/4 * 180° = 45°, y = 4 sin (2 * 45°) = 4 sin (90°) = 4 * 1 = 4.
3. Kembali ke 0: Pada x = 1/2 periode = 1/2 * 180° = 90°, y = 4 sin (2 * 90°) = 4 sin (180°) = 4 * 0 = 0.
4. Mencapai Minimum: Pada x = 3/4 periode = 3/4 * 180° = 135°, y = 4 sin (2 * 135°) = 4 sin (270°) = 4 * (-1) = -4.
5. Akhir Periode: Pada x = 1 periode = 180°, y = 4 sin (2 * 180°) = 4 sin (360°) = 4 * 0 = 0.
(Diagram: Kurva sinus yang dimulai dari (0,0), naik ke (45,4), turun ke (90,0), turun lagi ke (135,-4), dan kembali ke (180,0). Sumbu x dari 0° sampai 180°, sumbu y dari -4 sampai 4.)
5. Hitunglah nilai dari sin 105° tanpa menggunakan kalkulator, dengan menggunakan rumus jumlah atau selisih sudut.
Jawaban:
Kita bisa menulis 105° sebagai jumlah dari dua sudut istimewa, misalnya 60° + 45°.
Menggunakan rumus sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B:
sin 105° = sin (60° + 45°)
= sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45°
= (√3 / 2) * (√2 / 2) + (1 / 2) * (√2 / 2)
= (√6 / 4) + (√2 / 4)
= (√6 + √2) / 4
Jadi, nilai dari sin 105° adalah (√6 + √2) / 4.
