Apakah Anda siswa kelas 12 SMA yang sedang mencari materi tambahan untuk menguasai bab vektor dalam pelajaran matematika? Artikel ini adalah sumber yang tepat untuk Anda! Kami menghadirkan kumpulan “contoh soal matematika kelas 12 SMA vektor” yang dirancang secara komprehensif, mulai dari konsep dasar hingga aplikasi yang lebih menantang. Anda akan menemukan latihan soal yang mencakup berbagai aspek vektor, seperti menentukan panjang vektor, vektor posisi, operasi penjumlahan dan pengurangan vektor, perkalian skalar, serta dua jenis perkalian penting: perkalian titik (dot product) dan perkalian silang (cross product).
Fokus pembelajaran dalam latihan soal ini adalah untuk membangun pemahaman konseptual yang kuat dan kemampuan problem-solving yang efektif. Setiap soal dipilih untuk membantu Anda tidak hanya sekadar menghafal rumus, tetapi juga memahami bagaimana menerapkan konsep-konsep vektor dalam berbagai situasi, termasuk soal-soal yang melibatkan sudut antara dua vektor, proyeksi skalar dan vektor, serta luas bidang yang dibentuk oleh vektor. Tujuan utama dari latihan soal ini adalah untuk membekali Anda dengan kepercayaan diri dan keterampilan yang diperlukan untuk menghadapi ulangan harian, Ujian Sekolah, hingga persiapan Ujian Nasional dan Ujian Tulis Berbasis Komputer (UTBK) untuk masuk perguruan tinggi. Asah kemampuan Anda dan raih nilai terbaik dalam materi vektor!
Berikut adalah 30 contoh soal matematika kelas 12 SMA tentang vektor, yang terbagi menjadi 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian, beserta kunci jawabannya.
—
## Soal Pilihan Ganda (20 Soal)
1. Vektor adalah besaran yang memiliki …
a. Massa dan volume
b. Arah dan ukuran
c. Nilai dan satuan
d. Panjang dan lebar
e. Besar dan arah
Jawaban: e
2. Vektor yang menghubungkan titik P(1, -2) ke titik Q(4, 3) dapat ditulis sebagai …
a. (3, -5)
b. (-3, 5)
c. (5, 1)
d. (3, 5)
e. (5, -1)
Jawaban: d
3. Diketahui vektor a = (2, -1) dan b = (-3, 4). Hasil dari a + b adalah …
a. (-1, 3)
b. (5, -5)
c. (1, -3)
d. (-5, 5)
e. (-1, -3)
Jawaban: a
4. Jika vektor u = 4i + 2j – 3k dan v = i – 5j + k, maka u – v adalah …
a. 3i + 7j – 4k
b. 3i – 3j – 2k
c. 5i – 3j – 2k
d. 5i + 7j – 4k
e. 3i + 7j – 2k
Jawaban: a
5. Diketahui vektor p = (-2, 5). Hasil dari 3p adalah …
a. (1, 8)
b. (-6, 15)
c. (6, -15)
d. (1, 5)
e. (-5, 8)
Jawaban: b
6. Panjang vektor a = (3, -4) adalah …
a. 3
b. 4
c. 5
d. 7
e. 25
Jawaban: c
7. Panjang vektor r = i – 2j + 2k adalah …
a. √3
b. √5
c. 3
d. 9
e. 5
Jawaban: c
8. Vektor satuan dari vektor b = (6, -8) adalah …
a. (6/10, -8/10)
b. (3/5, -4/5)
c. (6, -8)
d. (1/6, -1/8)
e. (10, 10)
Jawaban: b
9. Jika titik A(1, 2, 3) dan B(3, 2, 1), maka vektor AB adalah …
a. (2, 0, -2)
b. (-2, 0, 2)
c. (4, 4, 4)
d. (2, 4, 4)
e. (-2, -4, -4)
Jawaban: a
10. Diketahui u = (2, 3) dan v = (-1, 5). Hasil dari 2u – v adalah …
a. (5, 1)
b. (3, -2)
c. (5, 11)
d. (3, 11)
e. (1, -2)
Jawaban: a
11. Jika dua vektor a dan b saling tegak lurus, maka hasil dari a · b adalah …
a. |a||b|
b. 1
c. -1
d. 0
e. Tidak terdefinisi
Jawaban: d
12. Diketahui vektor p = (2, -3) dan q = (1, 4). Hasil dari p · q adalah …
a. 10
b. -10
c. -14
d. 14
e. 2
Jawaban: b
13. Jika vektor a = (3, 0) dan b = (0, 4), maka cosinus sudut antara vektor a dan b adalah …
a. 0
b. 1
c. -1
d. 1/2
e. √3/2
Jawaban: a
14. Dua vektor u = (x, 2) dan v = (6, 3) dikatakan sejajar jika nilai x adalah …
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 6
Jawaban: d
15. Vektor a = (2, -1) dan b = (x, 4) saling tegak lurus. Nilai x adalah …
a. -2
b. 2
c. -4
d. 4
e. 8
Jawaban: b
16. Diketahui vektor a = (3, 4) dan b = (1, -1). Proyeksi skalar ortogonal vektor a pada b adalah …
a. -1/√2
b. 1/√2
c. 5
d. -1
e. 1
Jawaban: a
17. Jika p = (2, 0) dan q = (1, 1), maka proyeksi vektor ortogonal p pada q adalah …
a. (1, 1)
b. (2, 2)
c. (0, 0)
d. (1, 0)
e. (0, 1)
Jawaban: a
18. Titik C terletak pada ruas garis AB sehingga AC = 2/3 AB. Jika titik A(1, 2) dan B(4, 8), maka koordinat titik C adalah …
a. (3, 6)
b. (3, 5)
c. (1, 4)
d. (2, 4)
e. (3, 7)
Jawaban: a
19. Diberikan titik A(0, 0), B(4, 0), C(4, 4). Jika ABCD adalah persegi, maka koordinat titik D adalah …
a. (0, 4)
b. (4, 0)
c. (0, 0)
d. (8, 4)
e. (4, 8)
Jawaban: a
20. Jika a, b, c adalah vektor-vektor dan a + b = c. Jika a adalah (2, 3) dan c adalah (5, 1), maka vektor b adalah …
a. (3, -2)
b. (7, 4)
c. (-3, 2)
d. (2, -3)
e. (-7, -4)
Jawaban: a
—
## Soal Isian Singkat (5 Soal)
1. Panjang dari vektor v = (-5, 12) adalah …
Jawaban: 13
2. Jika p = (3, -2, 1) dan q = (-1, 4, 2), maka 2p + q adalah …
Jawaban: (5, 0, 4)
3. Hasil dari (4, -2) · (1, 3) adalah …
Jawaban: -2
4. Jika vektor r memiliki panjang 5 dan arahnya sama dengan vektor (3, 4), maka komponen vektor r adalah …
Jawaban: (3, 4)
5. Diberikan vektor a = (1, 1) dan b = (0, 1). Nilai cosinus sudut antara vektor a dan b adalah …
Jawaban: 1/√2
—
## Soal Uraian (5 Soal)
1. Tunjukkan apakah titik-titik A(1, 2, 3), B(3, 4, 7), dan C(7, 8, 15) adalah kolinier (segaris) atau tidak.
Jawaban:
Untuk menunjukkan kolinier, kita bisa memeriksa apakah vektor AB sejajar dengan vektor BC.
Vektor AB = B – A = (3-1, 4-2, 7-3) = (2, 2, 4)
Vektor BC = C – B = (7-3, 8-4, 15-7) = (4, 4, 8)
Kita perhatikan bahwa BC = 2 * AB (karena (4, 4, 8) = 2 * (2, 2, 4)).
Karena vektor BC adalah kelipatan skalar dari vektor AB, dan kedua vektor memiliki titik B yang sama, maka titik A, B, dan C adalah kolinier (segaris).
2. Diketahui vektor u = (6, -2, 1) dan v = (3, 1, -1). Tentukan proyeksi vektor ortogonal u pada v.
Jawaban:
Rumus proyeksi vektor ortogonal u pada v adalah:
p = ((u · v) / |v|²) * v
Hitung u · v:
u · v = (6)(3) + (-2)(1) + (1)(-1) = 18 – 2 – 1 = 15
Hitung |v|²:
|v|² = 3² + 1² + (-1)² = 9 + 1 + 1 = 11
Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus:
p = (15 / 11) * (3, 1, -1)
p = (45/11, 15/11, -15/11)
Jadi, proyeksi vektor ortogonal u pada v adalah (45/11, 15/11, -15/11).
3. Titik P(2, -1, 3) dan Q(4, 5, -3) diberikan. Jika titik R berada di antara P dan Q sehingga PR : RQ = 1 : 2, tentukan koordinat titik R.
Jawaban:
Ini adalah masalah pembagian ruas garis.
Vektor posisi titik R, r, dapat ditemukan menggunakan rumus:
r = (mq + np) / (m + n)
Di mana P, Q adalah titik-titik, dan rasio PR : RQ = m : n. Dalam kasus ini, P adalah titik awal, Q adalah titik akhir, dan rasio PR : RQ = 1 : 2, sehingga m = 1 (untuk Q) dan n = 2 (untuk P).
r = (1 * q + 2 * p) / (1 + 2)
r = (1 * (4, 5, -3) + 2 * (2, -1, 3)) / 3
r = ((4, 5, -3) + (4, -2, 6)) / 3
r = (4+4, 5-2, -3+6) / 3
r = (8, 3, 3) / 3
r = (8/3, 1, 1)
Jadi, koordinat titik R adalah (8/3, 1, 1).
4. Tentukan besar sudut antara vektor a = i + j dan b = i – j.
Jawaban:
Kita gunakan rumus dot product: a · b = |a||b| cos θ.
Dari sini, cos θ = (a · b) / (|a||b|)
Vektor dalam bentuk komponen:
a = (1, 1)
b = (1, -1)
Hitung a · b:
a · b = (1)(1) + (1)(-1) = 1 – 1 = 0
Hitung panjang vektor |a|:
|a| = √(1² + 1²) = √2
Hitung panjang vektor |b|:
|b| = √(1² + (-1)²) = √2
Substitusikan ke rumus cos θ:
cos θ = 0 / (√2 * √2)
cos θ = 0 / 2
cos θ = 0
Sudut yang memiliki nilai cosinus 0 adalah 90°.
Jadi, besar sudut antara vektor a dan b adalah 90°.
5. Sebuah jajaran genjang dibentuk oleh vektor u = (3, 1) dan v = (1, 2) yang berawal dari titik asal. Tentukan luas jajaran genjang tersebut.
Jawaban:
Luas jajaran genjang yang dibentuk oleh dua vektor u = (u₁, u₂) dan v = (v₁, v₂) dapat dihitung menggunakan rumus:
Luas = |u₁v₂ – u₂v₁|
Diberikan:
u = (3, 1) => u₁=3, u₂=1
v = (1, 2) => v₁=1, v₂=2
Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumus:
Luas = |(3)(2) – (1)(1)|
Luas = |6 – 1|
Luas = |5|
Luas = 5
Jadi, luas jajaran genjang tersebut adalah 5 satuan luas.
