Dimensi tiga atau geometri ruang seringkali menjadi salah satu topik paling menantang namun krusial dalam pelajaran Matematika kelas 12 SMA. Konsep ini tidak hanya mengasah kemampuan visualisasi spasial, tetapi juga menuntut pemahaman mendalam tentang jarak dan sudut dalam bangun ruang. Artikel ini hadir sebagai solusi bagi Anda yang sedang berjuang menaklukkan materi ini, menyajikan kumpulan contoh soal matematika kelas 12 SMA dimensi tiga yang komprehensif dan bervariasi.
Fokus utama latihan soal ini adalah untuk memperkuat pemahaman Anda tentang berbagai sub-topik dimensi tiga, mulai dari penentuan jarak antara dua titik, titik ke garis, titik ke bidang, hingga jarak antara dua garis dan dua bidang. Kami juga akan membahas perhitungan sudut antara garis dengan garis, garis dengan bidang, serta bidang dengan bidang, yang merupakan inti dari penguasaan geometri ruang. Setiap soal dirancang untuk mencakup tingkat kesulitan yang berbeda, dari dasar hingga aplikasi yang lebih kompleks, memastikan Anda siap menghadapi berbagai jenis soal ujian, termasuk Ujian Nasional, Ujian Sekolah, maupun persiapan masuk perguruan tinggi seperti UTBK.
Tujuan dari latihan soal ini bukan hanya sekadar memberikan jawaban, melainkan untuk membimbing Anda memahami strategi pemecahan masalah secara sistematis. Dengan mengerjakan setiap contoh soal, Anda akan diajak untuk mengembangkan penalaran logis, kemampuan visualisasi yang tajam, dan ketelitian dalam perhitungan. Jadikan artikel ini sebagai panduan belajar efektif Anda untuk menguasai dimensi tiga, meningkatkan kepercayaan diri, dan meraih nilai terbaik dalam pelajaran Matematika.
Berikut adalah 30 contoh soal matematika kelas 12 SMA dimensi tiga, terdiri dari 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian, beserta kunci jawabannya.
—
## Soal Pilihan Ganda
1. Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Jarak titik A ke titik C adalah…
a. 3√2 cm
b. 6 cm
c. 6√2 cm
d. 6√3 cm
Jawaban: c
2. Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm, jarak titik A ke titik G adalah…
a. 8 cm
b. 8√2 cm
c. 8√3 cm
d. 16 cm
Jawaban: c
3. Balok PQRS.TUVW memiliki panjang PQ = 8 cm, QR = 6 cm, dan RV = 5 cm. Jarak titik P ke titik V adalah…
a. √100 cm
b. √125 cm
c. √150 cm
d. √175 cm
Jawaban: b
4. Limas segiempat beraturan T.ABCD memiliki alas berbentuk persegi dengan panjang sisi 10 cm. Jika tinggi limas 12 cm, jarak titik T ke titik A adalah…
a. 13 cm
b. 15 cm
c. 17 cm
d. 20 cm
Jawaban: a
5. Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm, jarak titik E ke bidang ABCD adalah…
a. 2 cm
b. 4 cm
c. 4√2 cm
d. 4√3 cm
Jawaban: b
6. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik A ke garis diagonal ruang BH adalah…
a. 2√3 cm
b. 2√6 cm
c. 3√2 cm
d. 3√6 cm
Jawaban: b
7. Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm. Jarak titik C ke bidang BDG adalah…
a. (10/3)√3 cm
b. (10/3)√6 cm
c. 5√3 cm
d. 5√6 cm
Jawaban: a
8. Sebuah balok KLMN.PQRS memiliki panjang KL = 12 cm, LM = 9 cm, dan MP = 8 cm. Jarak titik M ke garis QR adalah…
a. 8 cm
b. 9 cm
c. 12 cm
d. 15 cm
Jawaban: a
9. Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm, sudut antara garis AF dan bidang ABCD adalah α. Nilai tan α adalah…
a. 1
b. √2
c. √3
d. 1/2 √2
Jawaban: a
10. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Sudut antara garis BG dan bidang alas ABCD adalah θ. Nilai cos θ adalah…
a. 1/2
b. 1/2 √2
c. 1/2 √3
d. 1
Jawaban: b
11. Prisma tegak segitiga ABC.DEF memiliki alas segitiga siku-siku di B. AB = 3 cm, BC = 4 cm, dan tinggi prisma AD = 6 cm. Jarak titik B ke bidang DEF adalah…
a. 3 cm
b. 4 cm
c. 5 cm
d. 6 cm
Jawaban: d
12. Limas segiempat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk alas 6 cm dan rusuk tegak 3√6 cm. Sudut antara rusuk tegak TD dan bidang alas ABCD adalah α. Nilai cos α adalah…
a. 1/2
b. 1/2 √2
c. 1/3 √3
d. 1/2 √3
Jawaban: b
13. Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 cm, jarak garis AE ke garis GC adalah…
a. 6 cm
b. 6√2 cm
c. 12 cm
d. 12√2 cm
Jawaban: d
14. Balok PQRS.TUVW memiliki panjang PQ = 6 cm, QR = 4 cm, dan PT = 3 cm. Sudut antara garis QV dan bidang PQRS adalah β. Nilai sin β adalah…
a. 3/5
b. 3/√34
c. 3/√52
d. 3/√61
Jawaban: c
15. Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 4 cm. Titik P adalah titik tengah CG. Jarak titik P ke bidang BDG adalah…
a. (4/3)√3 cm
b. (2/3)√3 cm
c. (4/3)√6 cm
d. (2/3)√6 cm
Jawaban: a
16. Pada kubus ABCD.EFGH, sudut yang dibentuk oleh bidang BCHE dan bidang ADHE adalah…
a. 30°
b. 45°
c. 60°
d. 90°
Jawaban: d
17. Diberikan limas segiempat beraturan T.ABCD dengan rusuk alas AB = 8 cm dan tinggi limas TO = 3 cm (O adalah titik potong diagonal alas). Jarak titik O ke bidang TBC adalah…
a. 24/5 cm
b. 12/5 cm
c. 24/8 cm
d. 12/8 cm
Jawaban: a
18. Jika pada kubus ABCD.EFGH panjang rusuknya adalah ‘s’, maka jarak bidang ABFE dan bidang DCGH adalah…
a. s
b. s√2
c. s√3
d. 2s
Jawaban: a
19. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Titik M adalah titik tengah EH. Jarak titik M ke garis AG adalah…
a. 4√2 cm
b. 4√3 cm
c. (4/3)√6 cm
d. (8/3)√6 cm
Jawaban: d
20. Sudut antara garis AH dan bidang BDHF pada kubus ABCD.EFGH adalah…
a. 30°
b. 45°
c. 60°
d. 90°
Jawaban: a
—
## Soal Isian Singkat
1. Sebuah kubus memiliki panjang rusuk 5 cm. Jarak titik sudut ke titik sudut yang berseberangan bidang adalah…
Jawaban: 5√2 cm
2. Balok dengan ukuran 12 cm x 9 cm x 8 cm. Jarak titik P ke titik R adalah…
Jawaban: 15 cm
3. Limas segiempat beraturan T.ABCD dengan rusuk alas 6 cm dan tinggi limas 4 cm. Panjang rusuk tegak TA adalah…
Jawaban: 5 cm
4. Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm, jarak titik A ke bidang EFGH adalah…
Jawaban: 10 cm
5. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Sudut antara garis AE dan bidang EFGH adalah…
Jawaban: 90°
—
## Soal Uraian
1. Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 10 cm. Tentukan jarak titik A ke garis CE.
Jawaban:
Untuk menentukan jarak titik A ke garis CE, kita dapat menggunakan konsep luas segitiga atau proyeksi.
Misalkan jarak titik A ke CE adalah d.
Pertama, cari panjang ruas garis yang membentuk segitiga ACE.
* AC adalah diagonal sisi = 10√2 cm.
* AE adalah rusuk = 10 cm.
* CE adalah diagonal ruang = 10√3 cm.
Segitiga ACE adalah segitiga siku-siku di A (karena EA ⊥ AC).
Luas segitiga ACE = 1/2 × alas × tinggi = 1/2 × AE × AC = 1/2 × 10 × 10√2 = 50√2 cm².
Juga, Luas segitiga ACE = 1/2 × CE × d.
Maka, 50√2 = 1/2 × 10√3 × d
100√2 = 10√3 × d
d = (100√2) / (10√3)
d = (10√2) / √3
d = (10√2 × √3) / (√3 × √3)
d = (10√6) / 3 cm.
Jadi, jarak titik A ke garis CE adalah (10/3)√6 cm.
2. Limas segiempat beraturan T.ABCD memiliki alas berbentuk persegi dengan panjang sisi 8 cm dan tinggi limas 6 cm. Tentukan nilai tangen sudut antara bidang TBC dan bidang ABCD.
Jawaban:
1. Tentukan titik tengah pada alas: Misalkan O adalah titik pusat alas (perpotongan diagonal AC dan BD). Misalkan P adalah titik tengah sisi BC.
2. Tentukan garis potong: Bidang TBC dan bidang ABCD berpotongan di garis BC.
3. Tentukan garis tegak lurus:
* Dari titik O, tarik garis tegak lurus ke BC, yaitu OP. Panjang OP = 1/2 × AB = 1/2 × 8 = 4 cm.
* Dari titik T, tarik garis tegak lurus ke BC, yaitu TP. TP adalah tinggi segitiga TBC.
4. Cari panjang TP: Segitiga TOP adalah segitiga siku-siku di O. TO adalah tinggi limas = 6 cm, OP = 4 cm.
TP² = TO² + OP² = 6² + 4² = 36 + 16 = 52.
TP = √52 = 2√13 cm.
5. Tentukan sudut: Sudut antara bidang TBC dan bidang ABCD adalah sudut antara garis TP dan OP. Misalkan sudut tersebut adalah θ.
Pada segitiga siku-siku TOP:
tan θ = TO / OP = 6 / 4 = 3/2.
Jadi, nilai tangen sudut antara bidang TBC dan bidang ABCD adalah 3/2.
3. Diberikan balok PQRS.TUVW dengan panjang PQ = 12 cm, QR = 5 cm, dan RV = 4 cm. Hitunglah jarak antara garis PQ dan garis RV.
Jawaban:
1. Identifikasi garis: Garis PQ berada pada bidang alas PQRS. Garis RV berada pada bidang sisi QRVU.
2. Periksa hubungan garis: Garis PQ dan garis RV adalah dua garis sejajar. (Perhatikan: RV adalah rusuk tegak, PQ adalah rusuk alas. Garis-garis ini bersilangan. Kesalahan dalam soal atau pemahaman awal saya. Mari kita perbaiki. PQ dan RV adalah garis bersilangan.)
Jika PQ dan RV bersilangan, maka jaraknya adalah jarak terpendek antara kedua garis tersebut. Jarak terpendek antara dua garis bersilangan dalam balok adalah jarak antara titik pada salah satu garis ke bidang yang memuat garis lain dan sejajar dengan garis pertama.
Alternatifnya, jaraknya adalah panjang ruas garis yang tegak lurus terhadap kedua garis.
Pada balok, garis PQ sejajar dengan garis SR. Garis RV adalah rusuk tegak.
Jarak garis PQ ke garis RV dapat diwakili oleh panjang ruas garis QR (karena QR tegak lurus PQ dan QR tegak lurus RV).
Ruas garis QR menghubungkan titik Q pada PQ dan titik R pada RV, dan QR tegak lurus baik terhadap PQ maupun RV.
Panjang QR = 5 cm.
Jadi, jarak antara garis PQ dan garis RV adalah 5 cm.
4. Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Titik P adalah titik tengah CG. Tentukan jarak titik P ke bidang BDG.
Jawaban:
1. Proyeksikan titik P ke bidang alas ABCD: Titik P adalah tengah CG. Proyeksi P ke bidang ABCD adalah titik tengah CD, sebut saja P’.
2. Tentukan jarak C ke bidang BDG: Jarak titik C ke bidang BDG adalah 1/3 dari diagonal ruang CE. Diagonal ruang CE = 6√3 cm. Jadi, jarak C ke BDG = (1/3) × 6√3 = 2√3 cm.
3. Gunakan perbandingan: Titik P terletak pada CG. Bidang BDG sejajar dengan bidang ACFH.
Jarak titik C ke bidang BDG adalah 2√3 cm.
Jarak titik G ke bidang BDG adalah 0 (karena G berada pada bidang BDG).
Titik P adalah titik tengah CG. Oleh karena itu, jarak titik P ke bidang BDG adalah setengah dari jarak titik C ke bidang BDG (karena P adalah titik tengah CG, dan bidang BDG melewati G serta C diproyeksikan ke BDG).
Jarak P ke bidang BDG = 1/2 × (jarak C ke BDG)
Jarak P ke bidang BDG = 1/2 × 2√3 = √3 cm.
*(Catatan: Metode ini benar jika P berada pada garis yang sama dengan proyeksi C ke BDG. Cara yang lebih umum adalah menggunakan rumus jarak titik ke bidang atau dengan proyeksi.)*
Metode alternatif (menggunakan volume limas atau perbandingan):
Misal rusuk kubus = s = 6 cm.
Jarak titik C ke bidang BDG adalah 1/3 diagonal ruang AG.
Diagonal ruang AG = s√3 = 6√3 cm.
Jarak C ke BDG = (1/3) × 6√3 = 2√3 cm.
Titik P adalah titik tengah CG.
Pertimbangkan proyeksi titik-titik pada garis CG ke bidang BDG.
Karena P adalah titik tengah CG, maka jarak P ke BDG adalah setengah dari jarak C ke BDG (karena G berada pada BDG).
Jarak P ke BDG = 1/2 × (Jarak C ke BDG) = 1/2 × 2√3 cm = √3 cm.
5. Diketahui limas beraturan T.ABC dengan ABC adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 6 cm. Jika panjang rusuk tegak TA = TB = TC = 5 cm, tentukan kosinus sudut antara rusuk tegak TA dan bidang alas ABC.
Jawaban:
1. Tentukan titik proyeksi T ke bidang alas: Karena limas beraturan, titik proyeksi T ke bidang alas ABC adalah titik pusat segitiga sama sisi ABC. Sebut titik ini O.
2. Cari panjang AO: O adalah titik berat segitiga ABC.
Tinggi segitiga ABC (misal dari A ke titik tengah BC, sebut D) adalah h = s√3 / 2 = 6√3 / 2 = 3√3 cm.
AO = 2/3 × h = 2/3 × 3√3 = 2√3 cm.
3. Cari tinggi limas TO: Segitiga TOA adalah segitiga siku-siku di O.
TA² = TO² + AO²
5² = TO² + (2√3)²
25 = TO² + 12
TO² = 13
TO = √13 cm.
4. Tentukan sudut: Sudut antara rusuk tegak TA dan bidang alas ABC adalah sudut antara garis TA dan proyeksinya ke bidang alas, yaitu AO. Misalkan sudut tersebut α.
Pada segitiga siku-siku TOA:
cos α = AO / TA
cos α = (2√3) / 5.
Jadi, kosinus sudut antara rusuk tegak TA dan bidang alas ABC adalah (2√3) / 5.
