Bab Lingkaran dalam Matematika Kelas 11 SMA seringkali menjadi tantangan tersendiri bagi banyak siswa. Konsepnya yang melibatkan geometri analitik, persamaan, dan berbagai kondisi kedudukan titik maupun garis, memerlukan pemahaman yang mendalam serta latihan yang konsisten. Artikel ini hadir sebagai solusi tepat bagi Anda yang ingin menguasai materi Lingkaran secara komprehensif. Kami menyajikan kumpulan contoh soal matematika kelas 11 SMA lingkaran yang dirancang khusus untuk mencakup seluruh spektrum materi.
Setiap contoh soal disajikan dengan tingkat kesulitan bervariasi, mulai dari konsep dasar persamaan lingkaran, menentukan pusat dan jari-jari, hingga soal-soal yang lebih kompleks seperti menentukan kedudukan titik atau garis terhadap lingkaran, dan tentu saja, berbagai kasus garis singgung lingkaran. Orientasi soal-soal ini adalah untuk memperkuat pemahaman konseptual dan melatih kemampuan problem-solving analitis Anda. Tujuan utama dari latihan soal ini adalah untuk membantu Anda tidak hanya memahami teori, tetapi juga mampu mengaplikasikannya dalam berbagai konteks soal. Dengan rutin berlatih menggunakan soal-soal yang terkurasi ini, diharapkan Anda akan semakin terampil dalam menganalisis soal, memilih rumus yang tepat, dan menyelesaikan permasalahan Lingkaran dengan akurat dan efisien. Ini adalah bekal penting untuk menghadapi ulangan harian, ujian tengah semester, hingga ujian akhir dengan percaya diri dan meraih nilai terbaik.
Berikut adalah 30 contoh soal matematika tentang lingkaran untuk kelas 11 SMA, terdiri dari 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian, beserta kunci jawabannya.
—
## Soal Pilihan Ganda
1. Pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran x² + y² = 25 adalah…
a. Pusat (0,0) dan r = 5
b. Pusat (0,0) dan r = 25
c. Pusat (5,5) dan r = 5
d. Pusat (5,0) dan r = 5
Jawaban: a
2. Persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan melalui titik (3,4) adalah…
a. x² + y² = 5
b. x² + y² = 25
c. x² + y² = 7
d. x² + y² = 49
Jawaban: b
3. Pusat dan jari-jari dari lingkaran (x – 2)² + (y + 3)² = 16 adalah…
a. Pusat (2,-3) dan r = 4
b. Pusat (-2,3) dan r = 4
c. Pusat (2,-3) dan r = 16
d. Pusat (-2,3) dan r = 16
Jawaban: a
4. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1,-2) dengan jari-jari 3 adalah…
a. (x + 1)² + (y – 2)² = 3
b. (x – 1)² + (y + 2)² = 3
c. (x + 1)² + (y – 2)² = 9
d. (x – 1)² + (y + 2)² = 9
Jawaban: d
5. Posisi titik (2,1) terhadap lingkaran x² + y² = 5 adalah…
a. Di dalam lingkaran
b. Pada lingkaran
c. Di luar lingkaran
d. Tidak dapat ditentukan
Jawaban: b
6. Posisi titik (3,4) terhadap lingkaran x² + y² = 20 adalah…
a. Di dalam lingkaran
b. Pada lingkaran
c. Di luar lingkaran
d. Tidak dapat ditentukan
Jawaban: c
7. Posisi titik (5,0) terhadap lingkaran x² + y² = 30 adalah…
a. Di dalam lingkaran
b. Pada lingkaran
c. Di luar lingkaran
d. Tidak dapat ditentukan
Jawaban: a
8. Pusat dan jari-jari lingkaran x² + y² – 4x + 6y – 3 = 0 adalah…
a. Pusat (2,-3) dan r = 4
b. Pusat (-2,3) dan r = 4
c. Pusat (2,-3) dan r = 16
d. Pusat (-2,3) dan r = 16
Jawaban: a
9. Persamaan lingkaran yang berpusat di (2,3) dan menyinggung sumbu x adalah…
a. (x – 2)² + (y – 3)² = 2
b. (x – 2)² + (y – 3)² = 3
c. (x – 2)² + (y – 3)² = 4
d. (x – 2)² + (y – 3)² = 9
Jawaban: d
10. Persamaan lingkaran yang berpusat di (2,3) dan menyinggung sumbu y adalah…
a. (x – 2)² + (y – 3)² = 2
b. (x – 2)² + (y – 3)² = 3
c. (x – 2)² + (y – 3)² = 4
d. (x – 2)² + (y – 3)² = 9
Jawaban: c
11. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 10 di titik (1,3) adalah…
a. x + 3y = 10
b. x + 3y = 1
c. 3x + y = 10
d. 3x + y = 1
Jawaban: a
12. Persamaan garis singgung lingkaran (x – 1)² + (y + 2)² = 5 di titik (2,0) adalah…
a. x + 2y – 2 = 0
b. x + 2y – 2 = 5
c. x – 2y – 2 = 0
d. x – 2y – 2 = 5
Jawaban: a
13. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 9 dengan gradien m = 2 adalah…
a. y = 2x ± 3√5
b. y = 2x ± 9√5
c. y = 2x ± 3√3
d. y = 2x ± 9√3
Jawaban: a
14. Persamaan garis singgung lingkaran (x + 1)² + (y – 3)² = 8 dengan gradien m = 1 adalah…
a. y – 3 = 1(x + 1) ± 8√2
b. y – 3 = 1(x + 1) ± 2√2
c. y – 3 = 1(x + 1) ± 4
d. y – 3 = 1(x + 1) ± 2√4
Jawaban: c
15. Jarak titik pusat lingkaran x² + y² = 10 ke garis x + y = 0 adalah…
a. 0
b. 1
c. √5
d. √10
Jawaban: a
16. Lingkaran dengan pusat (2,1) menyinggung garis 3x + 4y – 5 = 0. Jari-jari lingkaran tersebut adalah…
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Jawaban: a
17. Tentukan nilai k agar titik (k, 3) terletak pada lingkaran x² + y² = 25.
a. k = 3
b. k = ±3
c. k = 4
d. k = ±4
Jawaban: d
18. Persamaan diameter lingkaran x² + y² = 13 yang melalui titik (2, -3) adalah…
a. 2x – 3y = 0
b. 3x + 2y = 0
c. y = -3/2 x
d. y = 3/2 x
Jawakan: c
19. Jika lingkaran x² + y² + 2x – 4y + c = 0 melalui titik (1,1), maka nilai c adalah…
a. -2
b. 0
c. 2
d. 4
Jawaban: b
20. Kedudukan garis y = x + 1 terhadap lingkaran x² + y² = 1 adalah…
a. Memotong di dua titik
b. Menyinggung
c. Tidak memotong maupun menyinggung
d. Tidak dapat ditentukan
Jawaban: a
—
## Soal Isian Singkat
1. Pusat lingkaran x² + y² + 6x – 8y + 1 = 0 adalah …
Jawaban: (-3, 4)
2. Jari-jari lingkaran x² + y² – 10x + 2y – 10 = 0 adalah …
Jawaban: 6
3. Jika lingkaran x² + y² = r² melalui titik (6, -8), maka nilai r adalah …
Jawaban: 10
4. Garis y = x + c menyinggung lingkaran x² + y² = 2. Nilai c² adalah …
Jawaban: 4
5. Persamaan lingkaran dengan diameter yang ujungnya adalah A(1, 4) dan B(5, 2) adalah (x – p)² + (y – q)² = r². Tentukan nilai p + q + r².
Jawaban: 11
—
## Soal Uraian
1. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (0,0), (8,0), dan (0,6).
Jawaban:
Misalkan persamaan lingkaran adalah x² + y² + Ax + By + C = 0.
1. Melalui (0,0): 0² + 0² + A(0) + B(0) + C = 0, sehingga C = 0.
Persamaan menjadi x² + y² + Ax + By = 0.
2. Melalui (8,0): 8² + 0² + A(8) + B(0) = 0
64 + 8A = 0
8A = -64
A = -8.
3. Melalui (0,6): 0² + 6² + A(0) + B(6) = 0
36 + 6B = 0
6B = -36
B = -6.
Jadi, persamaan lingkaran adalah x² + y² – 8x – 6y = 0.
2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² – 6x + 4y – 12 = 0 yang bergradien m = 1.
Jawaban:
1. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran.
Pusat (a,b) = (-(-6)/2, -(4)/2) = (3, -2).
Jari-jari r = √(3² + (-2)² – (-12)) = √(9 + 4 + 12) = √25 = 5.
2. Gunakan rumus garis singgung dengan gradien m untuk lingkaran pusat (a,b):
y – b = m(x – a) ± r√(1 + m²).
Substitusikan nilai a=3, b=-2, m=1, r=5:
y – (-2) = 1(x – 3) ± 5√(1 + 1²).
y + 2 = x – 3 ± 5√2.
3. Pisahkan menjadi dua persamaan garis singgung:
a. y + 2 = x – 3 + 5√2 => y = x – 5 + 5√2
b. y + 2 = x – 3 – 5√2 => y = x – 5 – 5√2
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = x – 5 + 5√2 dan y = x – 5 – 5√2.
3. Diketahui lingkaran L: x² + y² = 25. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L yang ditarik dari titik P(7, 1).
Jawaban:
1. Cek posisi titik P(7,1) terhadap lingkaran x² + y² = 25.
7² + 1² = 49 + 1 = 50. Karena 50 > 25, titik P(7,1) berada di luar lingkaran.
2. Misalkan titik singgungnya adalah (x₁, y₁). Persamaan garis singgung di (x₁, y₁) adalah x₁x + y₁y = 25.
3. Karena garis singgung tersebut melalui P(7,1), substitusikan (7,1) ke persamaan garis singgung:
7x₁ + 1y₁ = 25 => y₁ = 25 – 7x₁ (Persamaan 1)
4. Titik (x₁, y₁) juga terletak pada lingkaran, maka x₁² + y₁² = 25 (Persamaan 2).
5. Substitusikan Persamaan 1 ke Persamaan 2:
x₁² + (25 – 7x₁)² = 25
x₁² + 625 – 350x₁ + 49x₁² = 25
50x₁² – 350x₁ + 600 = 0
Bagi dengan 50:
x₁² – 7x₁ + 12 = 0
6. Faktorkan persamaan kuadrat:
(x₁ – 3)(x₁ – 4) = 0
Didapat x₁ = 3 atau x₁ = 4.
7. Cari nilai y₁ untuk masing-masing x₁:
* Jika x₁ = 3, maka y₁ = 25 – 7(3) = 25 – 21 = 4. (Titik singgung (3,4))
* Jika x₁ = 4, maka y₁ = 25 – 7(4) = 25 – 28 = -3. (Titik singgung (4,-3))
8. Tulis persamaan garis singgung untuk setiap titik singgung:
* Untuk (3,4): 3x + 4y = 25.
* Untuk (4,-3): 4x – 3y = 25.
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 3x + 4y = 25 dan 4x – 3y = 25.
4. Tentukan kedudukan garis y = 2x + 1 terhadap lingkaran x² + y² + 4x – 6y – 7 = 0. Jelaskan langkah-langkahnya.
Jawaban:
1. Substitusikan persamaan garis y = 2x + 1 ke persamaan lingkaran:
x² + (2x + 1)² + 4x – 6(2x + 1) – 7 = 0
2. Ekspansi dan sederhanakan persamaan:
x² + (4x² + 4x + 1) + 4x – (12x + 6) – 7 = 0
x² + 4x² + 4x + 1 + 4x – 12x – 6 – 7 = 0
5x² + (4x + 4x – 12x) + (1 – 6 – 7) = 0
5x² – 4x – 12 = 0
3. Hitung nilai diskriminan D dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, yaitu D = b² – 4ac.
Dalam kasus ini, a = 5, b = -4, c = -12.
D = (-4)² – 4(5)(-12)
D = 16 – (-240)
D = 16 + 240
D = 256
4. Analisis nilai diskriminan D:
Karena D = 256 > 0, garis memotong lingkaran di dua titik yang berbeda.
Jadi, kedudukan garis y = 2x + 1 terhadap lingkaran tersebut adalah memotong di dua titik yang berbeda.
5. Lingkaran x² + y² – 2x + 4y – 4 = 0 berpusat di P(a,b) dengan jari-jari r. Tentukan nilai a, b, dan r. Kemudian, tentukan persamaan lingkaran lain yang sepusat dengan lingkaran tersebut dan menyinggung garis 3x – 4y + 10 = 0.
Jawaban:
Bagian 1: Menentukan a, b, dan r
1. Dari persamaan umum x² + y² + Ax + By + C = 0, kita punya A = -2, B = 4, C = -4.
2. Pusat (a,b):
a = -A/2 = -(-2)/2 = 1.
b = -B/2 = -(4)/2 = -2.
Jadi, pusat P(a,b) adalah (1, -2).
3. Jari-jari r:
r = √(a² + b² – C)
r = √(1² + (-2)² – (-4))
r = √(1 + 4 + 4)
r = √9 = 3.
Jadi, nilai a = 1, b = -2, dan r = 3.
Bagian 2: Persamaan lingkaran lain yang sepusat dan menyinggung garis
1. Lingkaran baru memiliki pusat yang sama, yaitu (1, -2).
2. Jari-jari lingkaran baru r’ adalah jarak dari pusat (1, -2) ke garis 3x – 4y + 10 = 0 karena menyinggung garis tersebut.
Rumus jarak titik (x₀, y₀) ke garis Ax + By + C = 0 adalah |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²).
r’ = |3(1) – 4(-2) + 10| / √(3² + (-4)²)
r’ = |3 + 8 + 10| / √(9 + 16)
r’ = |21| / √25
r’ = 21/5.
3. Persamaan lingkaran dengan pusat (1, -2) dan jari-jari r’ = 21/5 adalah:
(x – a)² + (y – b)² = (r’)²
(x – 1)² + (y – (-2))² = (21/5)²
(x – 1)² + (y + 2)² = 441/25.
Jadi, persamaan lingkaran yang baru adalah (x – 1)² + (y + 2)² = 441/25.
