Limit fungsi aljabar merupakan salah satu materi esensial dalam kurikulum matematika kelas 11 SMA yang menjadi fondasi penting untuk pemahaman kalkulus lebih lanjut. Seringkali, materi ini dianggap menantang karena memerlukan pemahaman konsep yang mendalam dan keterampilan problem-solving yang kuat. Artikel ini hadir untuk menjadi panduan komprehensif Anda dalam menguasai topik tersebut. Kami menyajikan berbagai contoh soal matematika kelas 11 SMA limit fungsi aljabar yang dirancang secara sistematis, mulai dari tingkat dasar hingga menengah, mencakup berbagai metode penyelesaian seperti substitusi langsung, pemfaktoran untuk bentuk tak tentu, perkalian sekawan, hingga aplikasi sifat-sifat limit.
Setiap soal dilengkapi dengan pembahasan langkah demi langkah yang jelas dan mudah dipahami, sehingga Anda tidak hanya mengetahui jawabannya, tetapi juga memahami proses dan penalaran di baliknya. Tujuan utama dari kumpulan latihan soal ini adalah untuk memperdalam pemahaman konseptual Anda, melatih kemampuan analisis, mengidentifikasi kesalahan umum yang sering terjadi, serta membangun kepercayaan diri dalam menyelesaikan berbagai tipe soal limit. Dengan berlatih secara konsisten menggunakan kumpulan soal ini, Anda akan lebih siap menghadapi ulangan harian, ujian semester, bahkan persiapan untuk ujian masuk perguruan tinggi. Manfaatkan kesempatan ini untuk memperkuat penguasaan Anda terhadap limit fungsi aljabar dan rasakan peningkatan kemampuan matematika Anda secara signifikan!
Berikut adalah 30 contoh soal tentang limit fungsi aljabar untuk kelas 11 SMA, terdiri dari 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian, beserta kunci jawabannya.
—
## Soal Pilihan Ganda
1. Berapakah nilai dari lim x→3 (2x + 5)?
a. 9
b. 10
c. 11
d. 12
Jawaban: c
2. Nilai dari lim x→1 (x² – 1)/(x – 1) adalah…
a. 0
b. 1
c. 2
d. Tak hingga
Jawaban: c
3. Tentukan nilai dari lim x→2 (x² – 4x + 4)/(x – 2)!
a. -2
b. 0
c. 2
d. 4
Jawaban: b
4. Jika lim x→a f(x) = 5 dan lim x→a g(x) = 2, maka nilai lim x→a (f(x) + g(x)) adalah…
a. 3
b. 7
c. 10
d. Tidak dapat ditentukan
Jawaban: b
5. Berapakah nilai dari lim x→0 (x² + 3x)/x?
a. 0
b. 1
c. 3
d. Tak hingga
Jawaban: c
6. Nilai dari lim x→∞ (4x² – 2x + 1)/(2x² + 5x – 3) adalah…
a. 0
b. 1/2
c. 2
d. 4
Jawaban: c
7. Tentukan nilai dari lim x→∞ (x³ + 2x – 1)/(x⁴ – 3x² + 5)!
a. 0
b. 1
c. 2
d. Tak hingga
Jawaban: a
8. Nilai dari lim x→∞ (x⁵ – 3x² + 2)/(2x³ + x – 4) adalah…
a. 0
b. 1/2
c. 2
d. Tak hingga
Jawaban: d
9. Berapakah nilai dari lim x→-1 (x³ + 1)/(x + 1)?
a. 0
b. 1
c. 3
d. -3
Jawaban: c
10. Nilai dari lim x→4 (√x – 2)/(x – 4) adalah…
a. 0
b. 1/4
c. 1/2
d. 1
Jawaban: b
11. Tentukan nilai dari lim x→0 (√(x + 9) – 3)/x!
a. 0
b. 1/6
c. 1/3
d. 1
Jawaban: b
12. Nilai dari lim x→∞ (√(x² + 2x) – x) adalah…
a. 0
b. 1
c. 2
d. Tak hingga
Jawaban: b
13. Berapakah nilai dari lim x→∞ (√(4x² – 3x + 1) – (2x – 5))?
a. -17/4
b. 17/4
c. -13/4
d. 13/4
Jawaban: b
14. Jika lim x→c f(x) = L, maka lim x→c (f(x))² adalah…
a. L²
b. 2L
c. L
d. √L
Jawaban: a
15. Tentukan nilai dari lim x→2 (x³ – 8)/(x – 2)!
a. 0
b. 4
c. 8
d. 12
Jawaban: d
16. Nilai dari lim x→-2 (x² + 5x + 6)/(x + 2) adalah…
a. -1
b. 0
c. 1
d. 2
Jawaban: a
17. Berapakah nilai dari lim x→∞ ((3x – 1)³)/(2x³ + x – 5)?
a. 3/2
b. 9/2
c. 27/2
d. Tak hingga
Jawaban: c
18. Jika lim x→a (f(x)/g(x)) = 4 dan lim x→a g(x) = 3, maka lim x→a f(x) adalah…
a. 4/3
b. 7
c. 12
d. 1
Jawaban: c
19. Nilai dari lim x→1 (x⁴ – 1)/(x – 1) adalah…
a. 0
b. 1
c. 2
d. 4
Jawaban: d
20. Tentukan nilai dari lim x→-3 (x² + x – 6)/(x + 3)!
a. -5
b. -3
c. 0
d. 5
Jawaban: a
—
## Soal Isian Singkat
1. Nilai dari lim x→-2 (5x + 3) adalah …
Jawaban: -7
2. Hasil dari lim x→∞ (10x² + 7x – 1)/(5x² – 2x + 4) adalah …
Jawaban: 2
3. Nilai dari lim x→0 (x⁵ – 2x³ + x²)/x² adalah …
Jawaban: 1
4. Jika lim x→c f(x) = 8, maka lim x→c (f(x) ÷ 4) adalah …
Jawaban: 2
5. Agar suatu limit fungsi di suatu titik c, yaitu lim x→c f(x), dapat dikatakan ada, maka nilai limit kiri harus sama dengan nilai …
Jawaban: limit kanan
—
## Soal Uraian
1. Hitung nilai dari lim x→2 (x² + 3x – 10)/(x – 2) dengan metode faktorisasi. Jelaskan langkah-langkahnya.
Jawaban:
Langkah-langkah:
1. Substitusi langsung x = 2 menghasilkan bentuk tak tentu 0/0.
(2² + 3(2) – 10)/(2 – 2) = (4 + 6 – 10)/0 = 0/0.
2. Faktorkan pembilang: x² + 3x – 10 menjadi (x + 5)(x – 2).
3. Tulis ulang limit: lim x→2 ((x + 5)(x – 2))/(x – 2).
4. Batalkan faktor (x – 2) yang sama di pembilang dan penyebut (karena x mendekati 2 tapi bukan 2, sehingga x – 2 ≠ 0).
lim x→2 (x + 5).
5. Substitusi x = 2 ke dalam ekspresi yang tersisa: 2 + 5 = 7.
Jadi, nilai dari lim x→2 (x² + 3x – 10)/(x – 2) adalah 7.
2. Hitung nilai dari lim x→1 (√(x + 3) – 2)/(x – 1) dengan metode perkalian sekawan. Jelaskan langkah-langkahnya.
Jawaban:
Langkah-langkah:
1. Substitusi langsung x = 1 menghasilkan bentuk tak tentu 0/0.
(√(1 + 3) – 2)/(1 – 1) = (√4 – 2)/0 = (2 – 2)/0 = 0/0.
2. Kalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan dari pembilang, yaitu (√(x + 3) + 2).
lim x→1 ((√(x + 3) – 2)/(x – 1)) * ((√(x + 3) + 2)/(√(x + 3) + 2)).
3. Gunakan sifat (a – b)(a + b) = a² – b² pada pembilang:
Pembilang menjadi (√(x + 3))² – 2² = (x + 3) – 4 = x – 1.
4. Tulis ulang limit: lim x→1 (x – 1)/((x – 1)(√(x + 3) + 2)).
5. Batalkan faktor (x – 1) yang sama di pembilang dan penyebut.
lim x→1 1/(√(x + 3) + 2).
6. Substitusi x = 1 ke dalam ekspresi yang tersisa: 1/(√(1 + 3) + 2) = 1/(√4 + 2) = 1/(2 + 2) = 1/4.
Jadi, nilai dari lim x→1 (√(x + 3) – 2)/(x – 1) adalah 1/4.
3. Tentukan nilai dari lim x→∞ (5x³ – 4x² + 2x + 1)/(3x³ + 7x – 5) dengan membagi pangkat tertinggi. Jelaskan langkah-langkahnya.
Jawaban:
Langkah-langkah:
1. Identifikasi pangkat tertinggi dari variabel x di pembilang dan penyebut. Pangkat tertinggi adalah x³.
2. Bagi setiap suku di pembilang dan penyebut dengan x³:
lim x→∞ ((5x³/x³) – (4x²/x³) + (2x/x³) + (1/x³)) / ((3x³/x³) + (7x/x³) – (5/x³)).
3. Sederhanakan setiap suku:
lim x→∞ (5 – 4/x + 2/x² + 1/x³) / (3 + 7/x² – 5/x³).
4. Gunakan sifat limit bahwa lim x→∞ (c/xⁿ) = 0 untuk n > 0 dan c konstanta.
Sehingga, saat x mendekati tak hingga, suku-suku 4/x, 2/x², 1/x³, 7/x², dan 5/x³ semuanya akan mendekati 0.
5. Substitusikan nilai limit ini:
(5 – 0 + 0 + 0) / (3 + 0 – 0) = 5/3.
Jadi, nilai dari lim x→∞ (5x³ – 4x² + 2x + 1)/(3x³ + 7x – 5) adalah 5/3.
4. Jelaskan mengapa suatu fungsi dapat memiliki limit di suatu titik, meskipun fungsi tersebut tidak terdefinisi di titik tersebut. Berikan contoh sederhana.
Jawaban:
Suatu fungsi dapat memiliki limit di suatu titik meskipun fungsi tersebut tidak terdefinisi di titik tersebut karena konsep limit berkaitan dengan perilaku fungsi *mendekati* titik tersebut, bukan *pada* titik tersebut. Limit melihat nilai yang “dituju” oleh fungsi saat input (x) semakin mendekat ke nilai tertentu dari kedua sisi (kiri dan kanan), terlepas dari apakah fungsi memiliki nilai output yang sebenarnya di titik tersebut atau tidak.
Contoh Sederhana:
Fungsi f(x) = (x² – 4)/(x – 2).
Jika kita substitusi x = 2, kita mendapatkan (2² – 4)/(2 – 2) = 0/0, yang berarti fungsi ini tidak terdefinisi di x = 2.
Namun, kita bisa mencari limitnya:
lim x→2 (x² – 4)/(x – 2)
= lim x→2 ((x – 2)(x + 2))/(x – 2)
= lim x→2 (x + 2)
= 2 + 2 = 4.
Meskipun f(2) tidak ada, nilai limit fungsi saat x mendekati 2 adalah 4. Ini berarti jika kita mendekati x dari 1.9, 1.99, 1.999 atau dari 2.1, 2.01, 2.001, nilai f(x) akan semakin dekat ke 4.
5. Tentukan nilai dari lim x→∞ (√(x² + 8x – 3) – √(x² – 2x + 5)). Jelaskan rumus atau metode yang digunakan.
Jawaban:
Untuk bentuk limit tak hingga `lim x→∞ (√(ax² + bx + c) – √(px² + qx + r))`, jika a = p, maka nilai limitnya dapat ditentukan dengan rumus `(b – q) / (2√a)`.
Langkah-langkah:
1. Identifikasi bentuk limit: Ini adalah bentuk `lim x→∞ (√(ax² + bx + c) – √(px² + qx + r))`.
2. Dari fungsi yang diberikan:
`a = 1`, `b = 8`, `c = -3` (dari `√(x² + 8x – 3)`)
`p = 1`, `q = -2`, `r = 5` (dari `√(x² – 2x + 5)`)
3. Perhatikan bahwa `a = p` (yaitu, 1 = 1). Oleh karena itu, kita dapat menggunakan rumus cepat.
4. Substitusikan nilai a, b, dan q ke dalam rumus:
Limit = `(b – q) / (2√a)`
Limit = `(8 – (-2)) / (2√1)`
Limit = `(8 + 2) / (2 * 1)`
Limit = `10 / 2`
Limit = `5`.
Jika menggunakan metode perkalian sekawan (tanpa rumus cepat):
1. Kalikan dengan sekawannya: `(√(x² + 8x – 3) + √(x² – 2x + 5)) / (√(x² + 8x – 3) + √(x² – 2x + 5))`
2. Pembilang menjadi: `(x² + 8x – 3) – (x² – 2x + 5) = 10x – 8`
3. Penyebut menjadi: `√(x² + 8x – 3) + √(x² – 2x + 5)`
4. Limit = `lim x→∞ (10x – 8) / (√(x² + 8x – 3) + √(x² – 2x + 5))`
5. Bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari x (yaitu x, atau √(x²)):
`lim x→∞ ((10x/x) – (8/x)) / (√(x²/x² + 8x/x² – 3/x²) + √(x²/x² – 2x/x² + 5/x²))`
`lim x→∞ (10 – 8/x) / (√(1 + 8/x – 3/x²) + √(1 – 2/x + 5/x²))`
6. Ketika x→∞, suku-suku seperti 8/x, 3/x², 2/x, 5/x² akan mendekati 0.
7. Maka, limit = `(10 – 0) / (√(1 + 0 – 0) + √(1 – 0 + 0))`
Limit = `10 / (√1 + √1)`
Limit = `10 / (1 + 1)`
Limit = `10 / 2 = 5`.
Jadi, nilai dari lim x→∞ (√(x² + 8x – 3) – √(x² – 2x + 5)) adalah 5.
