Selamat datang di sumber belajar terbaik untuk memahami Integral Tak Tentu! Artikel ini dirancang khusus untuk siswa kelas 11 SMA yang ingin menguasai salah satu topik krusial dalam matematika. Kami menyajikan berbagai contoh soal matematika kelas 11 SMA integral tak tentu yang mencakup berbagai tingkat kesulitan, mulai dari dasar hingga aplikasi yang lebih kompleks. Setiap soal disusun dengan cermat untuk membantu Anda tidak hanya sekadar menghafal rumus, tetapi juga memahami konsep di balik setiap penyelesaian.
Anda akan menemukan soal-soal yang melatih penggunaan berbagai sifat integral tak tentu, teknik substitusi, hingga integrasi fungsi aljabar dan trigonometri sederhana. Tujuannya jelas: agar Anda memiliki pondasi yang kuat sebelum melangkah ke integral tentu atau aplikasi integral lainnya. Dengan latihan soal yang terstruktur ini, diharapkan Anda dapat meningkatkan kemampuan pemecahan masalah, mengidentifikasi kesalahan umum, dan membangun kepercayaan diri dalam menghadapi ujian. Baik untuk persiapan ulangan harian, ujian semester, maupun seleksi masuk perguruan tinggi, kumpulan contoh soal matematika kelas 11 SMA integral tak tentu ini akan menjadi panduan belajar yang sangat efektif dan komprehensif. Mari kita taklukkan integral tak tentu bersama-sama dan raih nilai terbaik!
Berikut adalah 30 contoh soal tentang integral tak tentu untuk kelas 11 SMA, dengan rincian 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian, beserta kunci jawabannya.
—
# Soal Pilihan Ganda
1. Tentukan hasil dari ∫ 8 dx.
a. 8x² + C
b. 8x + C
c. x⁸ + C
d. 8 + C
Jawaban: b
2. Hasil dari ∫ 6x⁵ dx adalah …
a. x⁶ + C
b. 6x⁶ + C
c. ⁵/₆x⁶ + C
d. 30x⁴ + C
Jawaban: a
3. Integral tak tentu dari 4x³ adalah …
a. x⁴ + C
b. 4x⁴ + C
c. 12x² + C
d. x³/⁴ + C
Jawaban: a
4. Berapakah ∫ (x² – 3x + 2) dx?
a. 2x – 3 + C
b. x³/³ – 3x²/2 + 2x + C
c. x³/³ – 3x² + 2x + C
d. x³/³ – 3x + 2 + C
Jawaban: b
5. Hasil dari ∫ (5x – 2) dx adalah …
a. 5x² – 2x + C
b. ⁵/₂x² – 2x + C
c. 5x²/2 – 2 + C
d. 5x – 2x + C
Jawaban: b
6. Tentukan ∫ (x + 1)(x – 2) dx.
a. x³/³ – x²/2 – 2x + C
b. x³/³ + x²/2 – 2x + C
c. x³ – x² – 2x + C
d. x²/2 – x – 2 + C
Jawaban: a
*(Petunjuk: Kalikan terlebih dahulu (x + 1)(x – 2) = x² – x – 2)*
7. Integral dari ∫ (3x² + 4x – 1) dx adalah …
a. x³ + 2x² – x + C
b. 3x³ + 4x² – x + C
c. 6x + 4 + C
d. x³ + 4x² – x + C
Jawaban: a
8. Jika F'(x) = 6x² – 4x + 7, maka F(x) adalah …
a. 2x³ – 2x² + 7x + C
b. 6x³ – 4x² + 7x + C
c. 12x – 4 + C
d. 2x³ – 2x² + 7 + C
Jawaban: a
9. Nilai dari ∫ (x⁻² + x⁻³) dx adalah …
a. -x⁻¹ – ¹/₂x⁻² + C
b. -x⁻¹ + ¹/₂x⁻² + C
c. x⁻¹ + ¹/₂x⁻² + C
d. -x⁻¹ – 2x⁻² + C
Jawaban: a
10. Tentukan hasil dari ∫ (√x) dx.
a. ²/₃x√x + C
b. ¹/₂√x + C
c. x√x + C
d. x³/² + C
Jawaban: a
*(Petunjuk: √x = x¹/²)*
11. Hasil dari ∫ (2/x³) dx adalah …
a. -1/x² + C
b. 2/x² + C
c. -2/x² + C
d. -1/(2x²) + C
Jawaban: a
*(Petunjuk: 2/x³ = 2x⁻³)*
12. Berapakah ∫ (x² – 1)/x⁴ dx?
a. -1/x – 1/(3x³) + C
b. -1/x + 1/(3x³) + C
c. x⁻¹ – 3x⁻³ + C
d. x⁻¹ + x⁻³ + C
Jawaban: b
*(Petunjuk: (x² – 1)/x⁴ = x⁻² – x⁻⁴)*
13. Jika turunan pertama suatu fungsi adalah f'(x) = 3x² + 2x, maka f(x) adalah …
a. x³ + x² + C
b. x³ + x²
c. 6x + 2
d. 3x³ + 2x² + C
Jawaban: a
14. Tentukan hasil dari ∫ (4 – 2x + x³) dx.
a. 4x – x² + ¹/₄x⁴ + C
b. 4x – 2x² + 3x² + C
c. 4 – x² + ¹/₄x⁴ + C
d. 4x – x² + x⁴ + C
Jawaban: a
15. Hasil dari ∫ (x + 1)² dx adalah …
a. (x + 1)³/3 + C
b. x²/2 + 2x + 1 + C
c. x³/3 + x² + x + C
d. x³/3 + x² + 2x + C
Jawaban: c
*(Petunjuk: (x + 1)² = x² + 2x + 1)*
16. Integral dari ∫ (cos x) dx adalah …
a. sin x + C
b. -sin x + C
c. tan x + C
d. cos x + C
Jawaban: a
17. Integral dari ∫ (-sin x) dx adalah …
a. cos x + C
b. -cos x + C
c. sin x + C
d. -sin x + C
Jawaban: a
18. Jika ∫ f(x) dx = x³ – 2x² + 5x + C, maka f(x) adalah …
a. 3x² – 4x + 5
b. x² – 2x + 5
c. x⁴/4 – 2x³/3 + 5x²/2 + C
d. x³ – 2x² + 5x
Jawaban: a
19. Tentukan hasil dari ∫ (10x√x) dx.
a. 4x⁵/² + C
b. 10x⁵/² + C
c. ⁵/₂x⁵/² + C
d. ¹/₄x⁵/² + C
Jawaban: a
*(Petunjuk: 10x√x = 10x * x¹/² = 10x³/²)*
20. Berapakah ∫ (2x – 3)³ dx?
a. ¹/₄(2x – 3)⁴ + C
b. ¹/₂ * ¹/₄(2x – 3)⁴ + C
c. ¹/₂ (2x – 3)⁴ + C
d. ¹/₈(2x – 3)⁴ + C
Jawaban: d
*(Petunjuk: Gunakan metode substitusi u = 2x – 3, du = 2 dx)*
—
# Soal Isian Singkat
1. Hasil dari ∫ (9x² – 4x + 1) dx adalah …
Jawaban: 3x³ – 2x² + x + C
2. Jika ∫ (2x + k) dx = x² + 5x + C, maka nilai k adalah …
Jawaban: 5
3. Tentukan integral dari ∫ (3/4)x⁻¹/⁴ dx.
Jawaban: x³/⁴ + C
4. Jika f'(x) = 6x dan f(0) = 5, maka f(x) adalah …
Jawaban: 3x² + 5
5. Hasil dari ∫ (x – 1/√x) dx adalah …
Jawaban: ¹/₂x² – 2√x + C (atau ¹/₂x² – 2x¹/² + C)
—
# Soal Uraian
1. Tentukan integral tak tentu dari fungsi f(x) = (x + 3)(x – 1).
Jawaban:
Langkah 1: Kalikan suku-suku dalam kurung.
f(x) = (x + 3)(x – 1) = x² – x + 3x – 3 = x² + 2x – 3
Langkah 2: Integralkan f(x).
∫ (x² + 2x – 3) dx = ∫ x² dx + ∫ 2x dx – ∫ 3 dx
= (x³/3) + (2x²/2) – 3x + C
= x³/3 + x² – 3x + C
2. Sebuah fungsi F(x) memiliki turunan F'(x) = 3x² – 4x. Jika F(2) = 5, tentukan fungsi F(x).
Jawaban:
Langkah 1: Integralkan F'(x) untuk menemukan F(x).
F(x) = ∫ (3x² – 4x) dx = (3x³/3) – (4x²/2) + C
F(x) = x³ – 2x² + C
Langkah 2: Gunakan kondisi F(2) = 5 untuk menemukan nilai C.
F(2) = (2)³ – 2(2)² + C = 5
8 – 2(4) + C = 5
8 – 8 + C = 5
C = 5
Langkah 3: Tuliskan fungsi F(x) yang lengkap.
F(x) = x³ – 2x² + 5
3. Jelaskan mengapa integral tak tentu selalu diakhiri dengan penambahan konstanta C.
Jawaban:
Konstanta C (konstanta integrasi) ditambahkan karena integral tak tentu mencari “antiturunan” dari suatu fungsi. Proses turunan dari suatu konstanta selalu nol. Ini berarti bahwa banyak fungsi yang berbeda (yang hanya dibedakan oleh konstanta) dapat memiliki turunan yang sama. Misalnya, turunan dari x² adalah 2x, turunan dari x² + 5 adalah 2x, dan turunan dari x² – 10 adalah 2x. Oleh karena itu, ketika kita mengintegralkan 2x, kita tidak bisa tahu apakah fungsi aslinya adalah x², x² + 5, x² – 10, atau bentuk x² ditambah konstanta lainnya. Jadi, kita harus menambahkan C untuk mewakili semua kemungkinan konstanta tersebut.
4. Hitunglah hasil dari ∫ (1/x² + 2√x) dx.
Jawaban:
Langkah 1: Ubah bentuk fungsi ke bentuk pangkat.
1/x² = x⁻²
2√x = 2x¹/²
Maka, integralnya menjadi ∫ (x⁻² + 2x¹/²) dx
Langkah 2: Integralkan setiap suku.
∫ x⁻² dx = x⁻¹ / (-1) + C₁ = -1/x + C₁
∫ 2x¹/² dx = 2 * (x¹/²⁺¹) / (¹/₂⁺¹) + C₂ = 2 * (x³/²) / (³/₂) + C₂ = 2 * (²/₃) x³/² + C₂ = (4/3) x³/² + C₂
Langkah 3: Gabungkan hasilnya.
∫ (x⁻² + 2x¹/²) dx = -1/x + (4/3) x³/² + C (dimana C = C₁ + C₂)
5. Sebuah benda bergerak dengan kecepatan v(t) = 3t² – 2t + 4 m/s. Tentukan persamaan posisi s(t) benda tersebut jika pada saat t = 0 detik, posisi benda berada di s = 10 meter.
Jawaban:
Langkah 1: Posisi s(t) adalah integral dari kecepatan v(t).
s(t) = ∫ v(t) dt = ∫ (3t² – 2t + 4) dt
s(t) = (3t³/3) – (2t²/2) + 4t + C
s(t) = t³ – t² + 4t + C
Langkah 2: Gunakan informasi posisi awal s(0) = 10 untuk menemukan nilai C.
s(0) = (0)³ – (0)² + 4(0) + C = 10
0 – 0 + 0 + C = 10
C = 10
Langkah 3: Tuliskan persamaan posisi s(t) yang lengkap.
s(t) = t³ – t² + 4t + 10
