Menguasai bab pertidaksamaan rasional adalah salah satu kunci sukses dalam pembelajaran matematika SMA kelas 10. Topik ini seringkali menjadi tantangan bagi banyak siswa karena membutuhkan pemahaman konsep yang kuat dan ketelitian dalam setiap langkah penyelesaian. Artikel ini hadir untuk menjawab kebutuhan Anda dengan menyajikan kumpulan contoh soal matematika kelas 10 SMA pertidaksamaan rasional yang komprehensif. Kami telah merancang serangkaian soal yang bervariasi, mulai dari yang dasar untuk membangun pondasi pemahaman, hingga soal-soal yang sedikit lebih kompleks untuk mengasah kemampuan analitis Anda. Setiap contoh soal akan dilengkapi dengan langkah-langkah penyelesaian yang detail, sistematis, dan mudah diikuti, sehingga Anda tidak hanya mengetahui jawabannya, tetapi juga memahami proses berpikir di baliknya. Tujuan utama dari latihan soal ini adalah untuk memperdalam pemahaman Anda tentang cara menentukan titik kritis, menguji interval, dan menginterpretasikan himpunan penyelesaian dengan tepat. Dengan berlatih secara konsisten menggunakan contoh-contoh ini, diharapkan Anda akan lebih percaya diri dalam menghadapi ulangan harian, ujian tengah semester, maupun ujian akhir, serta mampu mengaplikasikan konsep pertidaksamaan rasional dalam berbagai konteks soal. Mari kita taklukkan materi ini bersama!
Berikut adalah 30 contoh soal mengenai pertidaksamaan rasional untuk siswa SMA kelas 10, lengkap dengan kunci jawabannya.
—
## Soal Pilihan Ganda
1. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan `(x – 3) / (x + 2) ≥ 0` adalah …
a. `x ≤ -2 atau x ≥ 3`
b. `x < -2 atau x ≥ 3`
c. `x ≤ -2 atau x > 3`
d. `x > -2 dan x ≤ 3`
Jawaban: b
2. Penyelesaian dari `(x + 1) / (x – 4) < 0` adalah ...
a. `x < -1`
b. `x > 4`
c. `-1 < x < 4`
d. `x < -1 atau x > 4`
Jawaban: c
3. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan `(2x – 6) / (x – 1) ≤ 0` adalah …
a. `1 < x ≤ 3`
b. `x ≤ 1 atau x ≥ 3`
c. `x < 1 atau x ≥ 3`
d. `x ≤ 3`
Jawaban: a
4. Daerah penyelesaian dari `(5 – x) / (x + 3) > 0` adalah …
a. `x < -3 atau x > 5`
b. `-3 < x < 5`
c. `x < 5`
d. `x > -3`
Jawaban: b
5. Himpunan penyelesaian dari `x / (x – 5) ≥ 0` adalah …
a. `0 ≤ x < 5`
b. `x ≤ 0 atau x > 5`
c. `x < 5`
d. `x ≥ 0`
Jawaban: b
6. Penyelesaian pertidaksamaan `(x² – 4) / (x – 1) < 0` adalah ...
a. `x < -2 atau 1 < x < 2`
b. `-2 < x < 1 atau x > 2`
c. `x < -2 atau x > 2`
d. `1 < x < 2`
Jawaban: a
7. Tentukan nilai x yang memenuhi `(x + 2) / (x² – 9) ≥ 0`.
a. `-3 < x ≤ -2 atau x > 3`
b. `x < -3 atau -2 ≤ x < 3`
c. `x ≤ -2 atau x > 3`
d. `-3 ≤ x ≤ -2 atau x ≥ 3`
Jawaban: a
8. Himpunan penyelesaian dari `1 / (x + 2) ≤ 2` adalah …
a. `x ≤ -2.5 atau x > -2`
b. `-2.5 ≤ x < -2`
c. `x ≤ -2.5`
d. `x > -2`
Jawaban: a
9. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan `(x – 5) / (x + 1) < 1` adalah ...
a. `x < -1`
b. `x > -1`
c. `x < 5`
d. `x > -5`
Jawaban: b
10. Penyelesaian dari `(2x + 1) / (x – 3) ≥ 1` adalah …
a. `x < 3 atau x ≥ 4`
b. `-4 ≤ x < 3`
c. `x ≤ -4 atau x > 3`
d. `x ≥ 4`
Jawaban: c
11. Himpunan penyelesaian dari `(x² + x – 6) / (x – 1) > 0` adalah …
a. `x < -3 atau 1 < x < 2`
b. `-3 < x < 1 atau x > 2`
c. `x < -3 atau x > 2`
d. `-3 < x < 2`
Jawaban: b
12. Tentukan himpunan penyelesaian dari `(3x + 9) / (x² – 16) < 0`.
a. `x < -4 atau -3 < x < 4`
b. `-4 < x < -3 atau x > 4`
c. `x < -3 atau x > 4`
d. `-4 < x < 4`
Jawaban: a
13. Penyelesaian pertidaksamaan `(x – 2)² / (x + 3) ≤ 0` adalah …
a. `x < -3 atau x = 2`
b. `x ≤ -3 atau x = 2`
c. `x < -3`
d. `x > -3`
Jawaban: a
14. Nilai x yang memenuhi `(x + 1) / (2 – x) ≥ 0` adalah …
a. `-1 ≤ x < 2`
b. `x ≤ -1 atau x > 2`
c. `-1 < x ≤ 2`
d. `x < 2`
Jawaban: a
15. Himpunan penyelesaian dari `1 / x > 3` adalah …
a. `x < 0 atau x > 1/3`
b. `0 < x < 1/3`
c. `x > 1/3`
d. `x < 1/3`
Jawaban: b
16. Pertidaksamaan `(x² + 4x + 4) / (x – 5) < 0` memiliki himpunan penyelesaian ...
a. `x < 5`
b. `x < 5 dan x ≠ -2`
c. `x < -2 atau x > 5`
d. `x > 5`
Jawaban: b
17. Tentukan penyelesaian dari `(x – 4) / x ≤ (x + 2) / x`.
a. `x < 0`
b. `x > 0`
c. `x ≤ 0`
d. `x ≥ 0`
Jawaban: a
18. Himpunan penyelesaian dari `(x + 1) / (x – 2) ≥ (x – 1) / (x + 2)` adalah …
a. `-2 < x < 2`
b. `x < -2 atau x > 2`
c. `x < -2 atau 0 ≤ x < 2`
d. `x < -2 atau x ≥ 0`
Jawaban: b
19. Penyelesaian dari `x / (x + 1) ≤ x` adalah …
a. `-1 < x ≤ 0 atau x ≥ 0`
b. `x < -1 atau 0 ≤ x`
c. `x < -1 atau x ≥ 0`
d. `x > 0`
Jawaban: b
20. Nilai x yang memenuhi `(x² – 2x – 3) / (x² – 9) ≤ 0` adalah …
a. `-3 < x ≤ -1 atau x < 3`
b. `x < -3 atau -1 ≤ x < 3`
c. `-3 < x ≤ -1`
d. `x ≤ -1 atau x < 3`
Jawpatan: c
—
## Soal Isian Singkat
1. Titik-titik kritis pada pertidaksamaan rasional `(x – 5) / (x + 3) ≤ 0` adalah …
Jawaban: -3 dan 5
2. Bentuk pertidaksamaan `(2x – 1) / (x + 4) < 3` jika diubah agar salah satu ruasnya nol adalah ...
Jawaban: `(-x – 13) / (x + 4) < 0` atau `(x + 13) / (x + 4) > 0`
3. Jika himpunan penyelesaian dari `(x – a) / (x – b) ≤ 0` adalah `2 < x ≤ 7`, maka nilai `a + b` adalah ...
Jawaban: 9
4. Tentukan banyak bilangan bulat yang memenuhi pertidaksamaan `(x – 1) / (x + 5) < 0`.
Jawaban: 5 (bilangan bulatnya adalah -4, -3, -2, -1, 0)
5. Pertidaksamaan `(x² + 1) / (x – 2) ≥ 0` memiliki penyelesaian `x > a`. Nilai `a` adalah …
Jawaban: 2
—
## Soal Uraian
1. Jelaskan langkah-langkah sistematis dalam menyelesaikan pertidaksamaan rasional `(2x – 4) / (x + 1) ≥ 0`.
Jawaban:
1. Tentukan pembuat nol pembilang dan penyebut:
* Pembilang: `2x – 4 = 0` => `2x = 4` => `x = 2`
* Penyebut: `x + 1 = 0` => `x = -1`
2. Gambarkan garis bilangan: Letakkan titik -1 dan 2 pada garis bilangan.
3. Uji titik pada setiap interval:
* Untuk `x < -1` (misal `x = -2`): `(2(-2) - 4) / (-2 + 1) = (-4 - 4) / (-1) = -8 / -1 = 8`. Karena `8 ≥ 0`, interval ini memenuhi.
* Untuk `-1 < x < 2` (misal `x = 0`): `(2(0) - 4) / (0 + 1) = -4 / 1 = -4`. Karena `-4 < 0`, interval ini tidak memenuhi.
* Untuk `x > 2` (misal `x = 3`): `(2(3) – 4) / (3 + 1) = (6 – 4) / 4 = 2 / 4 = 1/2`. Karena `1/2 ≥ 0`, interval ini memenuhi.
4. Perhatikan kondisi penyebut: Penyebut tidak boleh nol, jadi `x ≠ -1`.
5. Tuliskan himpunan penyelesaian: Berdasarkan uji titik dan kondisi penyebut, himpunan penyelesaiannya adalah `x < -1 atau x ≥ 2`.
2. Selesaikan pertidaksamaan `(x – 1) / (x + 2) < 3` dan tuliskan himpunan penyelesaiannya.
Jawaban:
1. Pindahkan semua suku ke satu ruas agar ruas kanan menjadi nol:
`(x – 1) / (x + 2) – 3 < 0`
2. Samakan penyebut:
`(x – 1) / (x + 2) – 3(x + 2) / (x + 2) < 0`
`(x – 1 – 3x – 6) / (x + 2) < 0`
`(-2x – 7) / (x + 2) < 0`
3. Cari pembuat nol pembilang dan penyebut:
* Pembilang: `-2x – 7 = 0` => `-2x = 7` => `x = -7/2 = -3.5`
* Penyebut: `x + 2 = 0` => `x = -2`
4. Gambarkan garis bilangan dan uji titik:
* Untuk `x < -3.5` (misal `x = -4`): `(-2(-4) - 7) / (-4 + 2) = (8 - 7) / (-2) = 1 / (-2) = -1/2`. Karena `-1/2 < 0`, interval ini memenuhi.
* Untuk `-3.5 < x < -2` (misal `x = -3`): `(-2(-3) - 7) / (-3 + 2) = (6 - 7) / (-1) = -1 / (-1) = 1`. Karena `1 > 0`, interval ini tidak memenuhi.
* Untuk `x > -2` (misal `x = 0`): `(-2(0) – 7) / (0 + 2) = -7 / 2`. Karena `-7/2 < 0`, interval ini memenuhi.
5. Himpunan penyelesaiannya adalah `x < -3.5 atau x > -2`.
3. Tentukan semua bilangan bulat x yang memenuhi pertidaksamaan `(x² – 1) / (x – 3) ≤ 0`.
Jawaban:
1. Faktorkan pembilang: `(x – 1)(x + 1) / (x – 3) ≤ 0`
2. Cari pembuat nol pembilang dan penyebut:
* Pembilang: `x = 1` dan `x = -1`
* Penyebut: `x = 3`
3. Gambarkan garis bilangan dengan titik -1, 1, dan 3. Uji titik pada setiap interval:
* `x < -1` (misal `x = -2`): `(-3)(-1) / (-5) = 3 / -5 = -3/5`. Ini `≤ 0`. Memenuhi.
* `-1 < x < 1` (misal `x = 0`): `(-1)(1) / (-3) = -1 / -3 = 1/3`. Ini `> 0`. Tidak memenuhi.
* `1 < x < 3` (misal `x = 2`): `(1)(3) / (-1) = 3 / -1 = -3`. Ini `≤ 0`. Memenuhi.
* `x > 3` (misal `x = 4`): `(3)(5) / (1) = 15 / 1 = 15`. Ini `> 0`. Tidak memenuhi.
4. Perhatikan kondisi penyebut `x ≠ 3`. Karena tanda pertidaksamaan `≤`, maka pembuat nol pembilang (-1 dan 1) ikut dalam himpunan penyelesaian.
5. Himpunan penyelesaian adalah `x ≤ -1 atau 1 ≤ x < 3`.
6. Bilangan bulat x yang memenuhi adalah `-1, 1, 2`.
4. Mengapa kita tidak boleh mengalikan pertidaksamaan rasional dengan penyebutnya untuk menghilangkan bentuk pecahan? Jelaskan dan berikan contoh.
Jawaban:
Mengalikan pertidaksamaan rasional dengan penyebutnya bisa mengubah arah tanda pertidaksamaan jika penyebut bernilai negatif. Kita tidak tahu apakah penyebut positif atau negatif karena penyebut mengandung variabel (x). Jika kita mengalikan dengan bilangan negatif, tanda pertidaksamaan harus dibalik. Jika kita tidak tahu tanda penyebut, kita tidak bisa memutuskannya.
Contoh: Selesaikan `1 / x < 1`.
* Cara salah (mengalikan langsung dengan x):
`1 < x`. Ini adalah jawaban yang tidak lengkap.
* Cara benar (memindahkan 1 ke ruas kiri dan menyamakan penyebut):
`1 / x – 1 < 0`
`(1 – x) / x < 0`
Pembuat nol: `x = 1` (pembilang) dan `x = 0` (penyebut).
Uji titik:
* `x < 0` (misal `x = -1`): `(1 - (-1)) / (-1) = 2 / -1 = -2`. Karena `-2 < 0`, ini memenuhi.
* `0 < x < 1` (misal `x = 0.5`): `(1 - 0.5) / 0.5 = 0.5 / 0.5 = 1`. Karena `1 > 0`, ini tidak memenuhi.
* `x > 1` (misal `x = 2`): `(1 – 2) / 2 = -1 / 2`. Karena `-1/2 < 0`, ini memenuhi.
Himpunan penyelesaian: `x < 0 atau x > 1`.
Terlihat jelas bahwa hasil dari cara yang benar (`x < 0 atau x > 1`) berbeda dengan cara yang salah (`x > 1`).
5. Sebuah pertidaksamaan rasional memiliki bentuk umum `P(x) / Q(x) > 0`. Jika `P(x) = x² – 4x + 3` dan `Q(x) = x – 2`, tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut.
Jawaban:
1. Substitusikan `P(x)` dan `Q(x)` ke dalam bentuk umum:
`(x² – 4x + 3) / (x – 2) > 0`
2. Faktorkan pembilang:
`(x – 1)(x – 3) / (x – 2) > 0`
3. Cari pembuat nol pembilang dan penyebut:
* Pembilang: `x – 1 = 0` => `x = 1`
* Pembilang: `x – 3 = 0` => `x = 3`
* Penyebut: `x – 2 = 0` => `x = 2`
4. Gambarkan garis bilangan dengan titik 1, 2, dan 3. Uji titik pada setiap interval:
* `x < 1` (misal `x = 0`): `(-1)(-3) / (-2) = 3 / -2 = -1.5`. Ini `< 0`. Tidak memenuhi.
* `1 < x < 2` (misal `x = 1.5`): `(0.5)(-1.5) / (-0.5) = -0.75 / -0.5 = 1.5`. Ini `> 0`. Memenuhi.
* `2 < x < 3` (misal `x = 2.5`): `(1.5)(-0.5) / (0.5) = -0.75 / 0.5 = -1.5`. Ini `< 0`. Tidak memenuhi.
* `x > 3` (misal `x = 4`): `(3)(1) / (2) = 3 / 2 = 1.5`. Ini `> 0`. Memenuhi.
5. Karena tanda pertidaksamaan adalah `>`, maka titik-titik kritis (1, 2, dan 3) tidak termasuk dalam himpunan penyelesaian.
6. Himpunan penyelesaiannya adalah `1 < x < 2 atau x > 3`.
