Kumpulan Soal Fisika Vektor: Konsep Dasar hingga Aplikasi Lanjut

A. Pilihan Ganda

1. Besaran fisika yang memiliki nilai dan arah disebut…
   • Skalar
   • Vektor
   • Besaran Pokok
   • Besaran Turunan
   Jawaban: Vektor
   Penjelasan: Vektor adalah besaran yang ditentukan oleh nilai (magnitude) dan arah, seperti gaya, kecepatan, dan perpindahan.
2. Manakah di antara besaran berikut yang merupakan besaran skalar?
   • Gaya
   • Kecepatan
   • Massa
   • Perpindahan
   Jawaban: Massa
   Penjelasan: Massa hanya memiliki nilai (besar) tanpa arah, sehingga termasuk besaran skalar. Suhu, waktu, dan volume juga adalah skalar.
3. Dua vektor A dan B memiliki besar masing-masing 6 satuan dan 8 satuan. Jika kedua vektor saling tegak lurus (90°), maka besar resultan kedua vektor adalah…
   • 2 satuan
   • 7 satuan
   • 10 satuan
   • 14 satuan
   Jawaban: 10 satuan
   Penjelasan: Untuk dua vektor yang tegak lurus, resultan R = √(A² + B²) = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 satuan.
4. Sebuah vektor F memiliki komponen horizontal Fₓ = 12 N dan komponen vertikal Fy = 5 N. Besar vektor F adalah…
   • 7 N
   • 13 N
   • 17 N
   • 169 N
   Jawaban: 13 N
   Penjelasan: Besar vektor F = √(Fₓ² + Fy²) = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13 N.
5. Jika vektor A = 3i + 4j dan vektor B = 2i – 3j, maka vektor A + B adalah…
   • i + 7j
   • 5i + 7j
   • i + j
   • 5i + j
   Jawaban: 5i + j
   Penjelasan: A + B = (3i + 4j) + (2i – 3j) = (3+2)i + (4-3)j = 5i + j.
6. Diberikan vektor P = 5i – 2j. Hasil dari 3P adalah…
   • 8i + j
   • 5i – 2j
   • 15i – 6j
   • 15i + 6j
   Jawaban: 15i – 6j
   Penjelasan: 3P = 3(5i – 2j) = 15i – 6j.
7. Vektor satuan dari vektor A = 6i – 8j adalah…
   • 6i – 8j
   • 10
   • (3/5)i – (4/5)j
   • (4/5)i – (3/5)j
   Jawaban: (3/5)i – (4/5)j
   Penjelasan: Besar vektor A = √(6² + (-8)²) = √(36 + 64) = √100 = 10. Vektor satuan = A / |A| = (6i – 8j) / 10 = (6/10)i – (8/10)j = (3/5)i – (4/5)j.
8. Sebuah vektor F sebesar 20 N membentuk sudut 30° terhadap sumbu x positif. Komponen vektor F pada sumbu y (Fy) adalah… (sin 30° = 0.5, cos 30° = 0.866)
   • 5 N
   • 10 N
   • 17.32 N
   • 20 N
   Jawaban: 10 N
   Penjelasan: Fy = F sin θ = 20 N * sin 30° = 20 N * 0.5 = 10 N.
9. Sudut yang dibentuk antara vektor A = 2i + 2j dan sumbu x positif adalah…
   • 0°
   • 30°
   • 45°
   • 60°
   Jawaban: 45°
   Penjelasan: tan θ = Ay / Ax = 2 / 2 = 1. Maka θ = arctan(1) = 45°.
10. Jika vektor A = 2i + 3j + k dan vektor B = i – 2j + 4k, maka nilai dari A · B adalah…
    • 0
    • 4
    • 10
    • -2
    Jawaban: 0
    Penjelasan: A · B = (2)(1) + (3)(-2) + (1)(4) = 2 – 6 + 4 = 0.
11. Dua vektor A dan B dikatakan tegak lurus jika…
    • A + B = 0
    • A – B = 0
    • A · B = 0
    • A x B = 0
    Jawaban: A · B = 0
    Penjelasan: Perkalian titik (dot product) dua vektor yang tegak lurus adalah nol karena cos 90° = 0.
12. Vektor yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh dua vektor A dan B diperoleh dari operasi…
    • Penjumlahan vektor
    • Pengurangan vektor
    • Perkalian titik (dot product)
    • Perkalian silang (cross product)
    Jawaban: Perkalian silang (cross product)
    Penjelasan: Hasil dari perkalian silang (cross product) dua vektor adalah vektor baru yang arahnya tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.
13. Sebuah benda mengalami perpindahan sejauh d = (3i + 4j) meter karena gaya F = (2i – j) Newton. Usaha yang dilakukan gaya tersebut adalah…
    • 10 Joule
    • 8 Joule
    • 2 Joule
    • -1 Joule
    Jawaban: 2 Joule
    Penjelasan: Usaha W = F · d = (2i – j) · (3i + 4j) = (2)(3) + (-1)(4) = 6 – 4 = 2 Joule.
14. Diberikan vektor A = i + 2j dan B = 3i + j. Hasil dari A x B adalah…
    • 7k
    • -5k
    • 5k
    • -7k
    Jawaban: -5k
    Penjelasan: A x B = (i + 2j) x (3i + j) = (1)(1)k + (2)(3)(-k) = k – 6k = -5k.
15. Jika vektor A = 4i – 2j dan vektor B = -i + 3j, maka vektor A – B adalah…
    • 3i + j
    • 5i + j
    • 5i – 5j
    • 3i – 5j
    Jawaban: 5i – 5j
    Penjelasan: A – B = (4i – 2j) – (-i + 3j) = (4 – (-1))i + (-2 – 3)j = 5i – 5j.
16. Sebuah vektor memiliki panjang 10 satuan dan membentuk sudut 210° terhadap sumbu x positif. Komponen x (Ax) dan y (Ay) dari vektor tersebut adalah… (sin 210° = -0.5, cos 210° = -0.866)
    • Ax = 8.66 satuan, Ay = 5 satuan
    • Ax = -5 satuan, Ay = -8.66 satuan
    • Ax = -8.66 satuan, Ay = -5 satuan
    • Ax = 5 satuan, Ay = 8.66 satuan
    Jawaban: Ax = -8.66 satuan, Ay = -5 satuan
    Penjelasan: Ax = A cos θ = 10 * cos 210° = 10 * (-0.866) = -8.66. Ay = A sin θ = 10 * sin 210° = 10 * (-0.5) = -5.
17. Titik P memiliki koordinat (2, 3) dan titik Q memiliki koordinat (5, -1). Vektor perpindahan dari P ke Q adalah…
    • 3i + 4j
    • -3i + 4j
    • 3i – 4j
    • 7i + 2j
    Jawaban: 3i – 4j
    Penjelasan: Vektor perpindahan PQ = Q – P = (5-2)i + (-1-3)j = 3i – 4j.
18. Manakah pernyataan yang BENAR mengenai vektor satuan?
    • Arahnya selalu ke sumbu x positif.
    • Besarnya selalu berubah-ubah.
    • Memiliki besar sama dengan satu.
    • Tidak memiliki arah.
    Jawaban: Memiliki besar sama dengan satu.
    Penjelasan: Vektor satuan didefinisikan sebagai vektor yang memiliki besar (magnitude) satu dan menunjukkan arah suatu vektor.
19. Jika vektor A = 3i + 2j – k, maka |A| (besar vektor A) adalah…
    • √10
    • √14
    • √6
    • 14
    Jawaban: √14
    Penjelasan: |A| = √(3² + 2² + (-1)²) = √(9 + 4 + 1) = √14.
20. Sudut antara vektor A = i + j dan vektor B = i – j adalah…
    • 0°
    • 45°
    • 60°
    • 90°
    Jawaban: 90°
    Penjelasan: A · B = (1)(1) + (1)(-1) = 1 – 1 = 0. Karena A · B = 0, maka sudut apit antara kedua vektor adalah 90° (tegak lurus).

B. Isian Singkat

1. Jelaskan perbedaan mendasar antara besaran vektor dan besaran skalar!
   Jawaban: Besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai (besar) dan arah, sedangkan besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai (besar) saja tanpa arah.
2. Sebutkan dua metode penjumlahan vektor secara grafis!
   Jawaban: Metode segitiga dan metode jajar genjang.
3. Apa yang dimaksud dengan vektor satuan dan berikan contohnya!
   Jawaban: Vektor satuan adalah vektor yang memiliki besar (panjang) sama dengan satu dan berfungsi untuk menunjukkan arah suatu vektor. Contoh: i, j, k (vektor satuan pada sumbu x, y, z).
4. Jika vektor A = 4i – 3j, berapakah besar dari vektor A?
   Jawaban: Besar vektor A = √(4² + (-3)²) = √(16 + 9) = √25 = 5 satuan.
5. Tuliskan rumus untuk mencari sudut apit (θ) antara dua vektor A dan B menggunakan perkalian titik (dot product)!
   Jawaban: cos θ = (A · B) / (|A| |B|)

C. Uraian

1. Jelaskan secara detail langkah-langkah penjumlahan tiga vektor atau lebih menggunakan metode komponen. Berikan contoh kasus dengan dua vektor A = 3i + 4j dan B = -2i + 6j, kemudian hitung resultannya.
   Pembahasan:
   Penjelasan: Metode komponen melibatkan penguraian setiap vektor ke dalam komponen-komponennya pada sumbu koordinat (misalnya x dan y). Langkah-langkahnya adalah:
   1. Uraikan setiap vektor ke dalam komponen-komponennya pada sumbu x (Rₓ) dan sumbu y (Ry).
   2. Jumlahkan semua komponen pada sumbu x untuk mendapatkan resultan komponen x (Rₓ = Aₓ + Bₓ + Cₓ + …).
   3. Jumlahkan semua komponen pada sumbu y untuk mendapatkan resultan komponen y (Ry = Ay + By + Cy + …).
   4. Besar vektor resultan (R) dihitung dengan rumus Pythagoras: R = √(Rₓ² + Ry²).
   5. Arah vektor resultan (θ) dihitung dengan rumus: tan θ = Ry / Rₓ.
   Contoh:
   Dua vektor A = 3i + 4j dan B = -2i + 6j.
   Komponen x total: Rₓ = Aₓ + Bₓ = 3 + (-2) = 1.
   Komponen y total: Ry = Ay + By = 4 + 6 = 10.
   Vektor resultan R = Rₓi + Ryj = i + 10j.
   Besar resultan |R| = √(1² + 10²) = √(1 + 100) = √101 satuan.
   Arah resultan θ = arctan(Ry / Rₓ) = arctan(10 / 1) = arctan(10).
2. Dua vektor A dan B memiliki besar masing-masing 12 satuan dan 8 satuan. Jika sudut apit antara kedua vektor adalah 60°, hitunglah:
   a. Besar vektor resultan (A + B)
   b. Besar selisih vektor (A – B)
   Pembahasan:
   Diketahui: |A| = 12, |B| = 8, θ = 60°.
   a. Besar resultan (A + B):
   |R| = √(|A|² + |B|² + 2|A||B|cos θ)
   |R| = √(12² + 8² + 2 * 12 * 8 * cos 60°)
   |R| = √(144 + 64 + 192 * 0.5)
   |R| = √(208 + 96) = √304 ≈ 17.44 satuan.
   b. Besar selisih (A – B):
   |S| = √(|A|² + |B|² – 2|A||B|cos θ)
   |S| = √(12² + 8² – 2 * 12 * 8 * cos 60°)
   |S| = √(144 + 64 – 192 * 0.5)
   |S| = √(208 – 96) = √112 ≈ 10.58 satuan.
3. Diberikan dua vektor P = (3i – j + 2k) dan Q = (i + 2j – k).
   a. Hitunglah nilai dari P · Q (perkalian titik).
   b. Hitunglah nilai dari P x Q (perkalian silang).
   c. Jelaskan makna fisik dari hasil P · Q dan P x Q jika P adalah vektor gaya dan Q adalah vektor perpindahan.
   Pembahasan:
   a. P · Q = (3)(1) + (-1)(2) + (2)(-1) = 3 – 2 – 2 = -1.
   b. P x Q:
   i j k
   3 -1 2
   1 2 -1
   = i((-1)(-1) – (2)(2)) – j((3)(-1) – (2)(1)) + k((3)(2) – (-1)(1))
   = i(1 – 4) – j(-3 – 2) + k(6 + 1)
   = -3i + 5j + 7k.
   c. Makna fisik:
   P · Q: Jika P adalah gaya dan Q adalah perpindahan, maka P · Q mewakili Usaha (W = F · d). Hasilnya adalah skalar yang menunjukkan transfer energi. Nilai negatif (-1 Joule) berarti gaya dan perpindahan berlawanan arah atau komponen gaya yang searah dengan perpindahan sangat kecil sehingga menghasilkan usaha negatif (usaha yang melawan perpindahan).
   P x Q: Jika P adalah gaya dan Q adalah perpindahan dari titik tumpu, maka P x Q mewakili Momen Gaya (τ = r x F, atau bisa juga diinterpretasikan sebagai vektor yang tegak lurus pada bidang yang dibentuk gaya dan perpindahan). Hasilnya adalah vektor yang arahnya tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh vektor gaya dan vektor perpindahan, dan besarnya terkait dengan efek putaran.
4. Sebuah partikel bergerak dari titik A(1, 2, 3) ke titik B(4, -1, 5). Setelah itu, partikel bergerak lagi dari titik B ke titik C(6, 0, 1). Tentukan:
   a. Vektor perpindahan dari A ke B (AB).
   b. Vektor perpindahan dari B ke C (BC).
   c. Vektor perpindahan total dari A ke C (AC) dan besar perpindahan total tersebut.
   Pembahasan:
   a. Vektor perpindahan AB = B – A = (4-1)i + (-1-2)j + (5-3)k = 3i – 3j + 2k.
   b. Vektor perpindahan BC = C – B = (6-4)i + (0-(-1))j + (1-5)k = 2i + j – 4k.
   c. Vektor perpindahan total AC = AB + BC = (3i – 3j + 2k) + (2i + j – 4k) = (3+2)i + (-3+1)j + (2-4)k = 5i – 2j – 2k.
   Besar perpindahan total |AC| = √(5² + (-2)² + (-2)²) = √(25 + 4 + 4) = √33 satuan.
5. Sebuah perahu motor bergerak menyeberangi sungai selebar 100 meter. Kecepatan perahu terhadap air adalah 4 m/s tegak lurus terhadap arus sungai. Arus sungai memiliki kecepatan 3 m/s.
   a. Gambarkan diagram vektor untuk situasi ini.
   b. Hitung kecepatan resultan perahu (besar dan arah terhadap tepi sungai).
   c. Berapa waktu yang dibutuhkan perahu untuk menyeberang sungai?
   Pembahasan:
   a. Diagram vektor: (Deskripsi: Dua vektor tegak lurus. Vektor kecepatan perahu (vp) mengarah tegak lurus ke seberang. Vektor kecepatan arus (va) mengarah sejajar tepi sungai. Vektor resultan (vr) adalah diagonal dari persegi panjang yang dibentuk vp dan va.)
   b. Kecepatan resultan perahu:
   Karena vp dan va tegak lurus, |vr| = √(vp² + va²) = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5 m/s.
   Arah terhadap tepi sungai: tan θ = vp / va = 4 / 3. θ = arctan(4/3) ≈ 53.13° terhadap arah arus.
   c. Waktu menyeberang sungai:
   Waktu dihitung berdasarkan kecepatan yang tegak lurus arus (kecepatan perahu terhadap air) dan lebar sungai.
   t = lebar sungai / vp = 100 m / 4 m/s = 25 detik.

D. Menjodohkan