Selami dunia kalkulus dengan bank soal turunan fungsi aljabar terlengkap ini! Artikel ini dirancang khusus untuk membantu Anda menguasai konsep-konsep kunci turunan, mulai dari aturan dasar, aturan rantai, perkalian, hingga pembagian. Kami menyajikan 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, 5 soal esai mendalam, dan 2 soal pencocokan yang akan menguji pemahaman Anda secara komprehensif. Setiap pertanyaan dilengkapi dengan kunci jawaban dan pembahasan singkat untuk memudahkan Anda dalam belajar. Baik Anda seorang siswa SMA yang sedang mempersiapkan ujian atau mahasiswa yang ingin memperdalam materi, kuis ini adalah sumber belajar yang ideal untuk meningkatkan keterampilan diferensiasi Anda. Kuasai turunan fungsi aljabar dan raih nilai terbaik Anda!
1. Jika `f(x) = 3x^4 – 2x^2 + 5x – 1`, maka `f'(x)` adalah…
- 12x^3 – 4x + 5
- 3x^3 – 2x + 5
- 12x^4 – 4x^2 + 5x
- 4x^3 – 2x + 1
Answer/Key: 12x^3 – 4x + 5
2. Turunan pertama dari `y = (2x+3)(x-1)` adalah…
- 2x + 1
- 4x – 1
- 4x + 1
- 2x^2 + x – 3
Answer/Key: 4x + 1
3. Jika `g(x) = (x^2 + 1)^3`, maka `g'(x)` adalah…
- 3(x^2 + 1)^2
- 3x(x^2 + 1)^2
- 6x(x^2 + 1)^2
- 2x(x^2 + 1)^2
Answer/Key: 6x(x^2 + 1)^2
4. Turunan pertama dari `h(x) = (4x-5)/(x+2)` adalah…
- 13 / (x+2)^2
- (4x-5) / (x+2)^2
- (4(x+2) + (4x-5)) / (x+2)^2
- (-13) / (x+2)^2
Answer/Key: 13 / (x+2)^2
5. Jika `y = 5`, maka `dy/dx` adalah…
- 5
- 1
- 0
- 5x
Answer/Key: 0
6. Turunan pertama dari `f(x) = sqrt(x)` adalah…
- 1 / sqrt(x)
- 2 / sqrt(x)
- 1 / (2*sqrt(x))
- x^(1/2)
Answer/Key: 1 / (2*sqrt(x))
7. Jika `y = 1/x^3`, maka `dy/dx` adalah…
- 3/x^4
- -3/x^4
- 1/(3x^2)
- -1/(3x^2)
Answer/Key: -3/x^4
8. Turunan pertama dari `f(x) = (3x-1)^4` adalah…
- 4(3x-1)^3
- 12(3x-1)^3
- 3(3x-1)^3
- (3x-1)^3
Answer/Key: 12(3x-1)^3
9. Jika `g(x) = x^3 – 6x^2 + 9x`, nilai `g'(x)` pada `x=2` adalah…
- 3
- -3
- 0
- 12
Answer/Key: -3
10. Turunan pertama dari `y = (x^2+1)/(x-1)` adalah…
- (2x(x-1) – (x^2+1)) / (x-1)^2
- (x^2 – 2x – 1) / (x-1)^2
- (x^2 – 2x + 1) / (x-1)^2
- (x^2 + 2x – 1) / (x-1)^2
Answer/Key: (x^2 – 2x – 1) / (x-1)^2
11. Jika `f(x) = (x^2-2x+1)^5`, maka `f'(x)` adalah…
- 5(x^2-2x+1)^4
- 5(2x-2)(x^2-2x+1)^4
- 10(x-1)(x^2-2x+1)^4
- (2x-2)(x^2-2x+1)^4
Answer/Key: 10(x-1)(x^2-2x+1)^4
12. Turunan kedua dari `y = 2x^5 – 3x^4 + x^2 – 7` adalah…
- 10x^4 – 12x^3 + 2x
- 40x^3 – 36x^2 + 2x
- 40x^3 – 36x^2 + 2
- 20x^3 – 18x^2 + 2
Answer/Key: 40x^3 – 36x^2 + 2
13. Jika `h(x) = x(x^2+3)`, maka `h'(x)` adalah…
- x^2 + 3
- 2x
- 3x^2 + 3
- 2x + 3
Answer/Key: 3x^2 + 3
14. Turunan pertama dari `f(x) = (x^3 – 2x)^2` adalah…
- 2(x^3 – 2x)
- 2(3x^2 – 2)
- 2(x^3 – 2x)(3x^2 – 2)
- (3x^2 – 2)^2
Answer/Key: 2(x^3 – 2x)(3x^2 – 2)
15. Gradien garis singgung kurva `y = x^2 – 4x + 3` di titik dengan `x=1` adalah…
- 2
- -2
- 0
- 1
Answer/Key: -2
16. Untuk nilai `x` berapa fungsi `f(x) = x^3 – 3x^2 + 3` memiliki titik stasioner?
- x = 0
- x = 2
- x = 0 atau x = 2
- x = 1
Answer/Key: x = 0 atau x = 2
17. Jika `f(x) = 3x^2 + 2x – 1`, maka nilai `lim_{h->0} (f(x+h) – f(x))/h` adalah…
- 3x + 2
- 6x – 1
- 6x + 2
- 3x^2 + 2x – 1
Answer/Key: 6x + 2
18. Turunan pertama dari `y = (sqrt(x) – 1)^2` adalah…
- 1 – 1/sqrt(x)
- 2(sqrt(x) – 1)
- 1/(2sqrt(x))
- sqrt(x) – 1
Answer/Key: 1 – 1/sqrt(x)
19. Jika `f(x) = (2x+1)^3 * (x-2)`, maka `f'(x)` adalah…
- 3(2x+1)^2(x-2) + (2x+1)^3
- 6(2x+1)^2(x-2) + (2x+1)^3
- (2x+1)^2(8x-11)
- (2x+1)^2(7x-11)
Answer/Key: (2x+1)^2(8x-11)
20. Turunan pertama dari `y = 1/(x^2+1)` adalah…
- 2x / (x^2+1)^2
- -2x / (x^2+1)^2
- 1 / (2x)
- -(x^2+1)^-2
Answer/Key: -2x / (x^2+1)^2
21. Jelaskan pengertian turunan suatu fungsi secara singkat.
Answer/Key: Turunan suatu fungsi adalah ukuran seberapa sensitif perubahan nilai fungsi terhadap perubahan inputnya. Secara geometris, turunan pada suatu titik adalah gradien garis singgung kurva fungsi di titik tersebut. Secara fisik, turunan menyatakan laju perubahan sesaat.
22. Tuliskan rumus turunan fungsi aljabar menggunakan aturan hasil kali (product rule) untuk `f(x) = u(x) * v(x)`.
Answer/Key: Rumus aturan hasil kali adalah `f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)`.
23. Tentukan turunan pertama dari fungsi `f(x) = (3x^2 – 5x + 1)^4`.
Answer/Key: `f'(x) = 4(3x^2 – 5x + 1)^3 * (6x – 5)`.
24. Bagaimana kita bisa menentukan apakah suatu fungsi sedang naik atau turun pada interval tertentu menggunakan turunan pertama?
Answer/Key: Jika turunan pertama `f'(x) > 0` pada interval tersebut, fungsi `f(x)` sedang naik. Jika `f'(x) < 0` pada interval tersebut, fungsi `f(x)` sedang turun.
25. Sebuah partikel bergerak dengan persamaan posisi `s(t) = t^3 – 6t^2 + 12t`. Tentukan kecepatan partikel pada saat `t = 2` detik.
Answer/Key: Kecepatan adalah turunan pertama dari posisi, `v(t) = s'(t) = 3t^2 – 12t + 12`. Pada `t = 2`, `v(2) = 3(2)^2 – 12(2) + 12 = 12 – 24 + 12 = 0`. Kecepatan partikel pada `t=2` detik adalah 0 unit/detik.
26. Jelaskan konsep turunan suatu fungsi dari definisi limit dan berikan contoh penerapannya.
Answer/Key: Turunan fungsi `f(x)` didefinisikan sebagai limit dari rasio perubahan fungsi terhadap perubahan variabel ketika perubahan variabel mendekati nol. Secara formal, `f'(x) = lim_{h->0} (f(x+h) – f(x))/h`. Ini merepresentasikan gradien garis singgung kurva di titik `x`, atau laju perubahan sesaat. Contoh penerapannya adalah dalam fisika, di mana kecepatan adalah turunan pertama dari posisi terhadap waktu, dan percepatan adalah turunan pertama dari kecepatan (turunan kedua dari posisi) terhadap waktu. Jika posisi suatu benda diberikan oleh `s(t) = t^2`, maka kecepatannya adalah `v(t) = s'(t) = 2t`.
27. Buktikan rumus turunan untuk fungsi hasil bagi `(u/v)` menggunakan aturan hasil kali dan aturan rantai.
Answer/Key: Misalkan `f(x) = u(x) / v(x)`. Kita bisa menulis ulang `f(x)` sebagai `f(x) = u(x) * [v(x)]^(-1)`. Menggunakan aturan hasil kali `(uv)’ = u’v + uv’`: `f'(x) = u'(x)[v(x)]^(-1) + u(x) * d/dx([v(x)]^(-1))`. Untuk `d/dx([v(x)]^(-1))`, gunakan aturan rantai: `d/dx([v(x)]^(-1)) = -1[v(x)]^(-2) * v'(x) = -v'(x) / [v(x)]^2`. Substitusikan kembali: `f'(x) = u'(x) / v(x) + u(x) * (-v'(x) / [v(x)]^2) = u'(x) / v(x) – u(x)v'(x) / [v(x)]^2`. Untuk menyamakan penyebut: `f'(x) = (u'(x)v(x) – u(x)v'(x)) / [v(x)]^2`. Ini membuktikan rumus turunan hasil bagi.
28. Diskusikan minimal tiga aplikasi turunan dalam kehidupan sehari-hari atau bidang ilmu lainnya (misalnya fisika, ekonomi, optimasi).
Answer/Key: 1. **Fisika**: Turunan digunakan untuk menghitung kecepatan (laju perubahan posisi) dan percepatan (laju perubahan kecepatan) suatu objek. Jika posisi objek adalah `s(t)`, maka kecepatan `v(t) = s'(t)` dan percepatan `a(t) = v'(t) = s”(t)`. 2. **Ekonomi**: Dalam ekonomi, turunan digunakan untuk menghitung konsep marginal. Biaya marginal adalah turunan fungsi biaya total, pendapatan marginal adalah turunan fungsi pendapatan total. Ini membantu perusahaan membuat keputusan produksi yang optimal untuk memaksimalkan keuntungan atau meminimalkan biaya. 3. **Optimasi**: Turunan sangat penting dalam masalah optimasi, yaitu mencari nilai maksimum atau minimum suatu fungsi. Misalnya, dalam rekayasa, untuk merancang struktur dengan bahan minimum atau memaksimalkan kapasitas; dalam bisnis, untuk menemukan harga yang memaksimalkan keuntungan; atau dalam logistik, untuk menemukan rute terpendek atau waktu tercepat.
29. Jelaskan langkah-langkah untuk menentukan titik stasioner, nilai maksimum/minimum lokal, dan jenisnya (maksimum/minimum/titik belok) dari suatu fungsi aljabar menggunakan uji turunan pertama dan kedua.
Answer/Key: Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: 1. **Cari turunan pertama `f'(x)`**. 2. **Tentukan titik stasioner**: Set `f'(x) = 0` dan selesaikan untuk `x`. Nilai `x` yang diperoleh adalah absis titik stasioner. 3. **Uji turunan pertama (jika `f”(x)` sulit dicari)**: Pilih nilai `x` di sekitar setiap titik stasioner. Jika `f'(x)` berubah dari positif ke negatif, itu adalah titik maksimum lokal. Jika berubah dari negatif ke positif, itu adalah titik minimum lokal. Jika tidak ada perubahan tanda, itu mungkin titik belok horizontal. 4. **Uji turunan kedua (lebih umum)**: Cari turunan kedua `f”(x)`. Substitusikan absis titik stasioner ke `f”(x)`. a. Jika `f”(x) > 0`, maka titik tersebut adalah titik minimum lokal. b. Jika `f”(x) < 0`, maka titik tersebut adalah titik maksimum lokal. c. Jika `f''(x) = 0`, uji turunan kedua gagal, dan perlu dilakukan uji turunan pertama atau uji turunan ketiga/seterusnya untuk menentukan jenis titik stasioner (bisa maksimum, minimum, atau titik belok).
30. Sebuah perusahaan memproduksi `x` unit barang dengan biaya total `C(x) = x^3 – 15x^2 + 75x + 100`. Tentukan jumlah unit barang yang harus diproduksi agar biaya marginalnya minimum, dan tentukan biaya marginal minimum tersebut.
Answer/Key: Biaya marginal (`CM`) adalah turunan pertama dari biaya total, `CM(x) = C'(x) = 3x^2 – 30x + 75`. Untuk mencari biaya marginal minimum, kita harus mencari turunan pertama dari biaya marginal (yaitu turunan kedua dari biaya total) dan menyetarakannya dengan nol: `CM'(x) = C”(x) = 6x – 30`. Set `6x – 30 = 0`, maka `6x = 30`, sehingga `x = 5`. Ini adalah jumlah unit barang yang harus diproduksi agar biaya marginalnya minimum. Untuk mengetahui biaya marginal minimum tersebut, substitusikan `x = 5` ke `CM(x)`: `CM(5) = 3(5)^2 – 30(5) + 75 = 3(25) – 150 + 75 = 75 – 150 + 75 = 0`. Jadi, biaya marginal minimum adalah 0 ketika 5 unit barang diproduksi.
31. Pasangkan fungsi aljabar dengan rumus turunannya.
| 1. `f(x) = x^n` | … | A. `f'(x) = 0` |
| 2. `f(x) = c` (konstanta) | … | B. `f'(x) = nx^(n-1)` |
| 3. `f(x) = u(x) + v(x)` | … | C. `f'(x) = u'(x) + v'(x)` |
| 4. `f(x) = u(x) * v(x)` | … | D. `f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)` |
| 5. `f(x) = u(x) / v(x)` | … | E. `f'(x) = (u'(x)v(x) – u(x)v'(x)) / (v(x))^2` |
Answer/Key: 1-B, 2-A, 3-C, 4-D, 5-E
32. Pasangkan konsep turunan dengan penjelasannya yang tepat.
| 1. Turunan pertama (`f'(x)`) | … | A. Titik di mana `f'(x) = 0`. |
| 2. Turunan kedua (`f”(x)`) | … | B. Menunjukkan laju perubahan fungsi atau gradien garis singgung. |
| 3. Titik stasioner | … | C. Menunjukkan kecekungan fungsi atau percepatan. |
| 4. Aturan Rantai | … | D. Nilai turunan pertama di suatu titik. |
| 5. Gradien garis singgung | … | E. Digunakan untuk menurunkan fungsi komposisi. |
Answer/Key: 1-B, 2-C, 3-A, 4-E, 5-D