Apakah Anda sedang mencari cara efektif untuk menguasai pertidaksamaan nilai mutlak? Ujian komprehensif ini dirancang khusus untuk menguji dan memperdalam pemahaman Anda tentang salah satu topik krusial dalam matematika. Pertidaksamaan nilai mutlak adalah konsep fundamental yang sering muncul dalam berbagai tingkatan pendidikan, mulai dari sekolah menengah hingga perguruan tinggi, serta aplikasi di dunia nyata seperti fisika dan teknik. Dengan menyelesaikan serangkaian 32 soal yang bervariasi – mulai dari pilihan ganda, isian singkat, esai, hingga soal menjodohkan – Anda akan mendapatkan gambaran jelas tentang area mana yang sudah Anda kuasai dan area mana yang memerlukan perhatian lebih. Setiap soal telah disusun dengan cermat untuk mencakup berbagai jenis pertidaksamaan nilai mutlak dan metode penyelesaiannya, memastikan Anda siap menghadapi tantangan apa pun. Mulai dari konsep dasar hingga aplikasi yang lebih kompleks, panduan ini adalah alat terbaik untuk meningkatkan kemampuan analitis dan pemecahan masalah Anda. Jangan lewatkan kesempatan untuk mengasah kemampuan matematika Anda dan mencapai nilai terbaik!
1. Himpunan penyelesaian dari |x| < 3 adalah...
- A. x < 3
- B. x > -3
- C. -3 < x < 3
- D. x < -3 atau x > 3
Answer/Key: C. -3 < x < 3
2. Himpunan penyelesaian dari |x| > 5 adalah…
- A. x < 5
- B. x > -5
- C. -5 < x < 5
- D. x < -5 atau x > 5
Answer/Key: D. x < -5 atau x > 5
3. Solusi dari |2x – 1| <= 7 adalah...
- A. x <= 4
- B. x >= -3
- C. -3 <= x <= 4
- D. x <= -3 atau x >= 4
Answer/Key: C. -3 <= x <= 4
4. Solusi dari |3x + 2| > 4 adalah…
- A. x > 2/3
- B. x < -2
- C. -2 < x < 2/3
- D. x < -2 atau x > 2/3
Answer/Key: D. x < -2 atau x > 2/3
5. Himpunan penyelesaian dari |4x + 5| < 1 adalah...
- A. -3/2 < x < -1
- B. -1 < x < 3/2
- C. x < -3/2 atau x > -1
- D. x < -1 atau x > 3/2
Answer/Key: A. -3/2 < x < -1
6. Nilai x yang memenuhi |x – 2| >= 4 adalah…
- A. x >= 6
- B. x <= -2
- C. -2 <= x <= 6
- D. x <= -2 atau x >= 6
Answer/Key: D. x <= -2 atau x >= 6
7. Himpunan penyelesaian dari |x + 1| < |2x - 3| adalah...
- A. x < 2/3 atau x > 4
- B. 2/3 < x < 4
- C. x < 4
- D. x > 2/3
Answer/Key: A. x < 2/3 atau x > 4
8. Nilai x yang memenuhi |3x – 5| > x + 1 adalah…
- A. x < 1 atau x > 3
- B. 1 < x < 3
- C. x > 3
- D. x < 1
Answer/Key: A. x < 1 atau x > 3
9. Penyelesaian dari |x – 4| + |x| < 6 adalah...
- A. -1 < x < 5
- B. x < -1 atau x > 5
- C. 0 < x < 4
- D. -1 < x < 4
Answer/Key: A. -1 < x < 5
10. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |x – 1| < 4 dan |x - 2| > 1 adalah…
- A. -3 < x < 5
- B. -3 < x < 1 atau 3 < x < 5
- C. x < -3 atau x > 5
- D. -1 < x < 3
Answer/Key: B. -3 < x < 1 atau 3 < x < 5
11. Jika |2x – 3| <= |x + 5|, maka himpunan penyelesaiannya adalah...
- A. x <= -2/3 atau x >= 8
- B. -2/3 <= x <= 8
- C. x <= 8
- D. x >= -2/3
Answer/Key: B. -2/3 <= x <= 8
12. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 1 < |x - 2| < 4 adalah...
- A. -2 < x < 1 atau 3 < x < 6
- B. -2 < x < 6
- C. 1 < x < 3
- D. x < -2 atau x > 6
Answer/Key: A. -2 < x < 1 atau 3 < x < 6
13. Himpunan penyelesaian dari |x^2 – 5x + 2| <= 2 adalah...
- A. x <= 0 atau x >= 5
- B. 0 <= x <= 1 atau 4 <= x <= 5
- C. x <= 2 atau x >= 3
- D. 0 <= x <= 5
Answer/Key: B. 0 <= x <= 1 atau 4 <= x <= 5
14. Jumlah semua bilangan bulat x yang memenuhi |2x + 1| < 5 adalah...
- A. -2
- B. -1
- C. 0
- D. 1
Answer/Key: A. -2
15. Bentuk pertidaksamaan yang setara dengan (x – 3)^2 > 4 adalah…
- A. |x – 3| > 2
- B. |x – 3| < 2
- C. |x – 3| > 4
- D. |x – 3| < 4
Answer/Key: A. |x – 3| > 2
16. Jika |x| <= 4 dan |y| <= 3, maka nilai maksimum dari |x - y| adalah...
- A. 1
- B. 4
- C. 7
- D. 12
Answer/Key: C. 7
17. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |x – 1| / (x + 2) < 1 adalah...
- A. x < -2 atau x > -1/2
- B. x > -1/2
- C. -2 < x < -1/2
- D. x < -2
Answer/Key: A. x < -2 atau x > -1/2
18. Jika a adalah bilangan positif, maka pertidaksamaan |x^2 – a^2| < 0 memiliki himpunan penyelesaian...
- A. -a < x < a
- B. x < -a atau x > a
- C. Tidak ada solusi
- D. x = a atau x = -a
Answer/Key: C. Tidak ada solusi
19. Batas-batas nilai x yang memenuhi |x – 1| + |x – 3| >= 2 adalah…
- A. x <= 1 atau x >= 3
- B. x <= 2 atau x >= 4
- C. Semua bilangan real
- D. Tidak ada solusi
Answer/Key: C. Semua bilangan real
20. Himpunan penyelesaian dari |x – 2| < x adalah...
- A. x < 1
- B. x > 1
- C. x > 2
- D. x < 2
Answer/Key: B. x > 1
21. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |x – 3| < 2.
Answer/Key: (1, 5)
22. Berapakah nilai terbesar dari bilangan bulat x yang memenuhi |2x + 3| <= 11?
Answer/Key: 4
23. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan (x^2 – 4) / |x – 1| >= 0.
Answer/Key: x <= -2 atau x >= 2, dengan x ≠ 1 (Ditulis sebagai (-∞, -2] U [2, ∞) \ {1})
24. Jika himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |ax + b| < c adalah -1 < x < 5, tentukan nilai a, b, dan c (dengan a > 0).
Answer/Key: a = 1, b = -2, c = 3
25. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |x – 1| + |x + 2| <= 7.
Answer/Key: [-4, 3]
26. Jelaskan interpretasi geometris dari pertidaksamaan nilai mutlak |x – a| < b. Berikan contoh dan gambarkan pada garis bilangan.
Answer/Key: Pertidaksamaan |x – a| < b secara geometris berarti jarak antara x dan a di garis bilangan kurang dari b. Artinya, x berada dalam interval terbuka yang berpusat di a dengan jari-jari b. Himpunan penyelesaiannya adalah a - b < x < a + b. Contoh: |x - 3| < 2 berarti jarak x dari 3 kurang dari 2. Solusinya adalah 3 - 2 < x < 3 + 2, yaitu 1 < x < 5. Pada garis bilangan, ini digambarkan sebagai segmen garis terbuka dari 1 hingga 5.
27. Uraikan langkah-langkah sistematis untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak berbentuk |f(x)| < g(x) dan |f(x)| > g(x). Jelaskan mengapa setiap langkah penting.
Answer/Key: Untuk |f(x)| < g(x): 1. Syarat g(x) > 0: Karena nilai mutlak tidak pernah negatif, maka sisi kanan g(x) harus positif agar pertidaksamaan ini memiliki solusi. Jika g(x) <= 0, tidak ada solusi (kecuali jika g(x)=0 dan f(x)=0). 2. Ubah ke bentuk tanpa nilai mutlak: Ini dapat dilakukan dengan dua cara: Cara 1 (Definisi): -g(x) < f(x) < g(x). Ini memecah menjadi dua pertidaksamaan: f(x) < g(x) dan f(x) > -g(x). Cara 2 (Kuadrat): f(x)^2 < g(x)^2. Ini hanya berlaku jika g(x) sudah dipastikan positif dari langkah 1. 3. Selesaikan pertidaksamaan aljabar: Cari solusi untuk pertidaksamaan yang dihasilkan. 4. Irisan solusi: Gabungkan (cari irisan) solusi dari langkah 1 dengan solusi dari langkah 3. Ini memastikan semua kondisi terpenuhi. Untuk |f(x)| > g(x): 1. Tidak ada syarat langsung g(x) > 0: Karena nilai mutlak selalu non-negatif, |f(x)| > g(x) bisa saja memiliki solusi bahkan jika g(x) negatif (misal |x| > -5, yang solusinya semua bilangan real). 2. Pecah kasus: Kasus 1: g(x) < 0. Dalam kasus ini, karena |f(x)| selalu >= 0, maka pertidaksamaan selalu benar. Solusi adalah semua x yang memenuhi g(x) < 0. Kasus 2: g(x) >= 0. Dalam kasus ini, kita bisa menggunakan: Cara 1 (Definisi): f(x) > g(x) atau f(x) < -g(x). Cara 2 (Kuadrat): f(x)^2 > g(x)^2. Ini aman karena g(x) >= 0, jadi g(x)^2 juga non-negatif. 3. Selesaikan pertidaksamaan aljabar: Cari solusi untuk setiap kasus. 4. Gabungkan solusi: Himpunan penyelesaian akhir adalah gabungan (union) dari solusi yang diperoleh dari Kasus 1 dan Kasus 2.
28. Diskusikan tiga kesalahan umum yang sering dilakukan siswa saat menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak dan bagaimana cara menghindarinya.
Answer/Key: 1. Mengabaikan syarat untuk g(x) pada |f(x)| < g(x): Banyak siswa lupa bahwa g(x) harus positif. Kesalahan ini dapat dihindari dengan selalu memeriksa apakah g(x) > 0 sebagai langkah pertama. Jika g(x) <= 0, dan f(x) tidak sama dengan 0 untuk g(x)=0, maka tidak ada solusi. 2. Kesalahan dalam mengkuadratkan kedua ruas: Mengkuadratkan kedua ruas dapat memperkenalkan solusi asing jika salah satu sisi (sebelum dikuadratkan) bisa negatif. Kesalahan ini dapat dihindari dengan memastikan kedua sisi memiliki tanda yang sama (positif) sebelum mengkuadratkan, atau dengan memecah kasus berdasarkan tanda f(x) dan g(x) atau menggunakan definisi dasar pertidaksamaan nilai mutlak. 3. Kesalahan dalam menentukan irisan atau gabungan interval: Ketika memecah kasus, siswa sering salah dalam menggabungkan atau mengambil irisan solusi dari setiap kasus. Mereka mungkin mengambil irisan padahal seharusnya gabungan, atau sebaliknya. Cara menghindarinya adalah dengan menggambar garis bilangan untuk setiap kasus dan mengarsir interval solusi, kemudian secara visual menentukan irisan untuk setiap kasus dan gabungan dari semua kasus.
29. Berikan sebuah contoh masalah dunia nyata yang dapat dimodelkan menggunakan pertidaksamaan nilai mutlak. Buat model matematikanya dan jelaskan apa yang diwakilkan oleh variabel dalam konteks masalah.
Answer/Key: Masalah: Sebuah pabrik memproduksi suku cadang dengan diameter ideal 50 mm. Proses produksi memiliki toleransi kesalahan sebesar 0,2 mm. Suku cadang dianggap cacat jika diameternya berada di luar rentang toleransi ini. Tentukan rentang diameter suku cadang yang masih dianggap berkualitas baik. Model Matematika: Misalkan D adalah diameter suku cadang yang diproduksi. Diameter ideal = 50 mm. Toleransi = 0,2 mm. Maka modelnya adalah |D – 50| <= 0,2. Penjelasan Variabel: D: Diameter aktual dari suku cadang yang diproduksi. 50: Diameter ideal atau target dari suku cadang. 0,2: Batas toleransi atau deviasi maksimum yang diizinkan dari diameter ideal. Penyelesaian: -0,2 <= D - 50 <= 0,2. 49,8 <= D <= 50,2. Kesimpulan: Rentang diameter suku cadang yang dianggap berkualitas baik adalah antara 49,8 mm dan 50,2 mm (inklusif).
30. Buktikan sifat pertidaksamaan segitiga |a + b| <= |a| + |b| dan jelaskan signifikansinya dalam matematika.
Answer/Key: Bukti Pertidaksamaan Segitiga: Kita tahu bahwa untuk setiap bilangan real x, -|x| <= x <= |x|. Maka, kita bisa menulis: 1. -|a| <= a <= |a| 2. -|b| <= b <= |b|. Jumlahkan kedua pertidaksamaan ini: -|a| + (-|b|) <= a + b <= |a| + |b|. - (|a| + |b|) <= a + b <= (|a| + |b|). Dari definisi nilai mutlak, jika -k <= x <= k, maka |x| <= k. Maka, kita bisa menyimpulkan bahwa: |a + b| <= |a| + |b|. Signifikansi: Pertidaksamaan segitiga adalah salah satu ketidaksamaan fundamental dalam matematika. Dalam Geometri: Sifat ini merefleksikan fakta bahwa panjang salah satu sisi segitiga selalu kurang dari atau sama dengan jumlah panjang dua sisi lainnya. Dalam Analisis Matematika: Pertidaksamaan ini sangat penting dalam definisi metrik (jarak) dan konsep kekonvergenan. Ini adalah alat dasar untuk memperkirakan batas atas suatu jumlah.
31. Pasangkan bentuk pertidaksamaan nilai mutlak dengan bentuk penyelesaian umumnya:
| |x| < a | … | -a < x < a |
| |x| > a | … | x < -a atau x > a |
| |f(x)| < g(x) | … | g(x) > 0 dan -g(x) < f(x) < g(x) |
| |f(x)| > g(x) | … | f(x) > g(x) atau f(x) < -g(x) (jika g(x) >= 0); Semua x jika g(x) < 0 |
| |f(x)| < |g(x)| | … | f(x)^2 < g(x)^2 |
Answer/Key: Provided in pairs
32. Pasangkan konsep atau sifat nilai mutlak dengan deskripsi atau contoh yang tepat:
| Definisi Nilai Mutlak | … | |x| = x jika x >= 0, |x| = -x jika x < 0 |
| Jarak Geometris | … | |a – b| adalah jarak antara titik a dan b pada garis bilangan |
| Sifat Perkalian | … | |ab| = |a||b| |
| Pertidaksamaan Segitiga | … | |a + b| <= |a| + |b| |
| Nilai Mutlak Kuadrat | … | |x|^2 = x^2 |
Answer/Key: Provided in pairs