Selamat datang di panduan komprehensif untuk menguasai logaritma! Logaritma adalah salah satu konsep fundamental dalam matematika yang memiliki aplikasi luas dalam berbagai bidang, mulai dari sains, teknik, keuangan, hingga komputasi. Memahami logaritma dengan baik sangat penting bagi pelajar SMA, mahasiswa, atau siapa pun yang ingin memperdalam pengetahuan matematikanya. Artikel ini dirancang khusus untuk membantu Anda menguji dan meningkatkan pemahaman Anda tentang logaritma melalui berbagai jenis soal. Kami menyajikan koleksi soal logaritma yang lengkap, meliputi pilihan ganda, isian singkat, esai, dan mencocokkan, yang mencakup berbagai tingkat kesulitan dan konsep dasar hingga lanjutan. Mulai dari definisi dasar logaritma, sifat-sifat logaritma, persamaan dan pertidaksamaan logaritma, hingga aplikasi dalam kehidupan nyata. Persiapkan diri Anda untuk menghadapi ujian, mengasah kemampuan pemecahan masalah, dan membangun fondasi matematika yang kokoh dengan latihan soal logaritma terbaik ini.
1. Nilai dari ^2log 8 adalah…
- 2
- 3
- 4
- 8
Answer/Key: 3
2. Nilai dari ^3log (1/9) adalah…
- 2
- -2
- 1/2
- 3
Answer/Key: -2
3. Nilai dari log 1000 adalah…
- 1
- 2
- 3
- 4
Answer/Key: 3
4. Nilai dari ^5log 1 adalah…
- 5
- 1
- 0
- Tidak terdefinisi
Answer/Key: 0
5. Jika log x = 2 (basis 10), maka nilai x adalah…
- 10
- 20
- 100
- 1000
Answer/Key: 100
6. Hasil dari ^2log 4 + ^2log 8 adalah…
- 3
- 4
- 5
- 6
Answer/Key: 5
7. Hasil dari ^3log 54 – ^3log 2 adalah…
- 2
- 3
- 4
- 27
Answer/Key: 3
8. Nilai dari ^2log (1/16) adalah…
- 4
- -4
- 1/4
- 16
Answer/Key: -4
9. Jika ^xlog 81 = 4, maka nilai x adalah…
- 2
- 3
- 4
- 9
Answer/Key: 3
10. Sederhanakan: ^5log 125 – ^5log 5 =…
- 1
- 2
- 3
- 4
Answer/Key: 2
11. Jika ^a log b = c, maka bentuk eksponennya adalah…
- a = b^c
- b = a^c
- c = a^b
- a = c^b
Answer/Key: b = a^c
12. Bentuk lain dari log a + log b adalah…
- log (a+b)
- log (a-b)
- log (a/b)
- log (ab)
Answer/Key: log (ab)
13. Bentuk lain dari log a – log b adalah…
- log (a-b)
- log (a+b)
- log (a/b)
- log (ab)
Answer/Key: log (a/b)
14. Nilai dari ^3log 27 + ^3log 1 adalah…
- 1
- 2
- 3
- 4
Answer/Key: 3
15. Jika ^2log (x+1) = 3, maka nilai x adalah…
- 4
- 5
- 6
- 7
Answer/Key: 7
16. Hasil dari ^2log 3 * ^3log 4 adalah…
- 1
- 2
- 3
- 4
Answer/Key: 2
17. Jika ^4log x = 1/2, maka nilai x adalah…
- 1
- 2
- 4
- 1/2
Answer/Key: 2
18. Diketahui ^2log 3 = a. Maka nilai ^8log 9 adalah…
- a/3
- 2a/3
- 3a/2
- 3a
Answer/Key: 2a/3
19. Nilai dari log 2 + log 5 adalah…
- log 7
- log 10
- 1
- 0
Answer/Key: 1
20. Jika ^2log x = -3, maka nilai x adalah…
- -8
- 8
- 1/8
- -1/8
Answer/Key: 1/8
21. Tentukan nilai dari ^4log 64.
Answer/Key: 3
22. Jika log 2 = 0.301 (basis 10), tentukan nilai log 200.
Answer/Key: 2.301
23. Sederhanakan ^2log 16 + ^3log 27.
Answer/Key: 7
24. Tuliskan definisi logaritma dalam bentuk umum, yaitu jika a^c = b, maka…
Answer/Key: log_a b = c
25. Apa syarat basis logaritma (a) dan numerus (b) agar log_a b terdefinisi?
Answer/Key: Basis a > 0 dan a ≠ 1; Numerus b > 0.
26. Jelaskan konsep dasar logaritma dan berikan contoh penerapannya dalam kehidupan sehari-hari.
Answer/Key: Konsep dasar logaritma adalah operasi matematika invers dari eksponensiasi. Jika kita memiliki a^c = b, maka logaritma mencari eksponen c. Ini ditulis sebagai log_a b = c, di mana ‘a’ adalah basis, ‘b’ adalah numerus, dan ‘c’ adalah hasil logaritma. Dalam bahasa sederhana, logaritma adalah ‘pangkat berapa suatu bilangan harus dipangkatkan untuk menghasilkan bilangan lain’. Contoh penerapannya dalam kehidupan sehari-hari adalah skala Richter untuk mengukur intensitas gempa bumi, skala pH untuk mengukur keasaman atau kebasaan, atau desibel untuk mengukur intensitas suara, di mana semua skala ini menggunakan konsep logaritma untuk mengelola rentang nilai yang sangat luas.
27. Sebutkan dan buktikan tiga sifat utama logaritma yang sering digunakan.
Answer/Key: Tiga sifat utama logaritma:
1. Sifat Perkalian: log_b (x*y) = log_b x + log_b y
Pembuktian: Misalkan log_b x = M dan log_b y = N. Maka x = b^M dan y = b^N. Jadi, x*y = b^M * b^N = b^(M+N). Mengambil logaritma basis b pada kedua sisi: log_b (x*y) = M+N. Substitusi kembali M dan N, maka terbukti log_b (x*y) = log_b x + log_b y.
2. Sifat Pembagian: log_b (x/y) = log_b x – log_b y
Pembuktian: Misalkan log_b x = M dan log_b y = N. Maka x = b^M dan y = b^N. Jadi, x/y = b^M / b^N = b^(M-N). Mengambil logaritma basis b pada kedua sisi: log_b (x/y) = M-N. Substitusi kembali M dan N, maka terbukti log_b (x/y) = log_b x – log_b y.
3. Sifat Pangkat: log_b (x^n) = n * log_b x
Pembuktian: Misalkan log_b x = M. Maka x = b^M. Jadi, x^n = (b^M)^n = b^(M*n). Mengambil logaritma basis b pada kedua sisi: log_b (x^n) = M*n. Substitusi kembali M, maka terbukti log_b (x^n) = n * log_b x.
1. Sifat Perkalian: log_b (x*y) = log_b x + log_b y
Pembuktian: Misalkan log_b x = M dan log_b y = N. Maka x = b^M dan y = b^N. Jadi, x*y = b^M * b^N = b^(M+N). Mengambil logaritma basis b pada kedua sisi: log_b (x*y) = M+N. Substitusi kembali M dan N, maka terbukti log_b (x*y) = log_b x + log_b y.
2. Sifat Pembagian: log_b (x/y) = log_b x – log_b y
Pembuktian: Misalkan log_b x = M dan log_b y = N. Maka x = b^M dan y = b^N. Jadi, x/y = b^M / b^N = b^(M-N). Mengambil logaritma basis b pada kedua sisi: log_b (x/y) = M-N. Substitusi kembali M dan N, maka terbukti log_b (x/y) = log_b x – log_b y.
3. Sifat Pangkat: log_b (x^n) = n * log_b x
Pembuktian: Misalkan log_b x = M. Maka x = b^M. Jadi, x^n = (b^M)^n = b^(M*n). Mengambil logaritma basis b pada kedua sisi: log_b (x^n) = M*n. Substitusi kembali M, maka terbukti log_b (x^n) = n * log_b x.
28. Selesaikan persamaan logaritma: ^2log (x-1) + ^2log (x+1) = 3. Jelaskan setiap langkahnya.
Answer/Key: Langkah-langkah penyelesaian:
1. **Syarat Numerus:** Untuk logaritma terdefinisi, numerus harus positif. Jadi, x-1 > 0 -> x > 1 dan x+1 > 0 -> x > -1. Irisan kedua syarat adalah x > 1.
2. **Gunakan Sifat Logaritma Perkalian:** ^2log (x-1) + ^2log (x+1) dapat disatukan menjadi ^2log ((x-1)(x+1)).
Persamaan menjadi: ^2log (x^2 – 1) = 3.
3. **Ubah ke Bentuk Eksponen:** Dari definisi logaritma, jika log_a b = c, maka b = a^c.
Maka, x^2 – 1 = 2^3.
x^2 – 1 = 8.
4. **Selesaikan Persamaan Kuadrat:**
x^2 = 9.
x = ±3.
5. **Periksa Syarat Numerus:** Kita punya x = 3 dan x = -3. Berdasarkan syarat awal x > 1, maka x = -3 tidak memenuhi.
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan adalah x = 3.
1. **Syarat Numerus:** Untuk logaritma terdefinisi, numerus harus positif. Jadi, x-1 > 0 -> x > 1 dan x+1 > 0 -> x > -1. Irisan kedua syarat adalah x > 1.
2. **Gunakan Sifat Logaritma Perkalian:** ^2log (x-1) + ^2log (x+1) dapat disatukan menjadi ^2log ((x-1)(x+1)).
Persamaan menjadi: ^2log (x^2 – 1) = 3.
3. **Ubah ke Bentuk Eksponen:** Dari definisi logaritma, jika log_a b = c, maka b = a^c.
Maka, x^2 – 1 = 2^3.
x^2 – 1 = 8.
4. **Selesaikan Persamaan Kuadrat:**
x^2 = 9.
x = ±3.
5. **Periksa Syarat Numerus:** Kita punya x = 3 dan x = -3. Berdasarkan syarat awal x > 1, maka x = -3 tidak memenuhi.
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan adalah x = 3.
29. Bagaimana cara menyelesaikan pertidaksamaan logaritma ^3log (2x-1) < ^3log (x+2)? Jelaskan syarat dan langkah-langkahnya.
Answer/Key: Langkah-langkah penyelesaian:
1. **Syarat Numerus:** Agar logaritma terdefinisi, numerus harus positif.
– 2x-1 > 0 -> 2x > 1 -> x > 1/2.
– x+2 > 0 -> x > -2.
Irisan dari kedua syarat ini adalah x > 1/2.
2. **Selesaikan Pertidaksamaan Logaritma:** Karena basis logaritma (3) lebih besar dari 1 (a > 1), maka fungsi logaritma adalah fungsi naik. Ini berarti tanda pertidaksamaan numerusnya akan sama dengan tanda pertidaksamaan logaritmanya.
^3log (2x-1) < ^3log (x+2) -> 2x-1 < x+2. 3. **Selesaikan Pertidaksamaan Linear:** 2x - x < 2 + 1. x < 3. 4. **Tentukan Himpunan Penyelesaian:** Gabungkan syarat numerus (x > 1/2) dengan hasil pertidaksamaan (x < 3). Himpunan penyelesaian adalah {x | 1/2 < x < 3}.
1. **Syarat Numerus:** Agar logaritma terdefinisi, numerus harus positif.
– 2x-1 > 0 -> 2x > 1 -> x > 1/2.
– x+2 > 0 -> x > -2.
Irisan dari kedua syarat ini adalah x > 1/2.
2. **Selesaikan Pertidaksamaan Logaritma:** Karena basis logaritma (3) lebih besar dari 1 (a > 1), maka fungsi logaritma adalah fungsi naik. Ini berarti tanda pertidaksamaan numerusnya akan sama dengan tanda pertidaksamaan logaritmanya.
^3log (2x-1) < ^3log (x+2) -> 2x-1 < x+2. 3. **Selesaikan Pertidaksamaan Linear:** 2x - x < 2 + 1. x < 3. 4. **Tentukan Himpunan Penyelesaian:** Gabungkan syarat numerus (x > 1/2) dengan hasil pertidaksamaan (x < 3). Himpunan penyelesaian adalah {x | 1/2 < x < 3}.
30. Tentukan domain dari fungsi f(x) = log (x^2 – 4x + 3) dan jelaskan mengapa kondisi tersebut harus dipenuhi.
Answer/Key: Domain suatu fungsi logaritma log_a(g(x)) ditentukan oleh syarat bahwa numerus g(x) harus selalu positif. Dalam kasus ini, numerus adalah x^2 – 4x + 3. Jadi, kita harus mencari nilai x yang memenuhi x^2 – 4x + 3 > 0.
Langkah-langkahnya:
1. **Faktorkan Pertidaksamaan Kuadrat:**
(x – 1)(x – 3) > 0.
2. **Cari Akar-akar Pembuat Nol:** Akar-akar dari (x – 1)(x – 3) = 0 adalah x = 1 dan x = 3.
3. **Uji Interval pada Garis Bilangan:** Kita memiliki tiga interval: x < 1, 1 < x < 3, dan x > 3.
– Untuk x < 1 (misal x=0): (0-1)(0-3) = (-1)(-3) = 3 > 0 (Memenuhi)
– Untuk 1 < x < 3 (misal x=2): (2-1)(2-3) = (1)(-1) = -1 < 0 (Tidak Memenuhi) - Untuk x > 3 (misal x=4): (4-1)(4-3) = (3)(1) = 3 > 0 (Memenuhi)
4. **Tentukan Domain:** Berdasarkan pengujian interval, nilai x yang memenuhi x^2 – 4x + 3 > 0 adalah x < 1 atau x > 3.
Domain fungsi f(x) = log (x^2 – 4x + 3) adalah {x | x < 1 atau x > 3}.
Kondisi ini harus dipenuhi karena logaritma dari bilangan non-positif (nol atau negatif) tidak terdefinisi dalam bilangan real. Oleh karena itu, numerus logaritma harus selalu lebih besar dari nol.
Langkah-langkahnya:
1. **Faktorkan Pertidaksamaan Kuadrat:**
(x – 1)(x – 3) > 0.
2. **Cari Akar-akar Pembuat Nol:** Akar-akar dari (x – 1)(x – 3) = 0 adalah x = 1 dan x = 3.
3. **Uji Interval pada Garis Bilangan:** Kita memiliki tiga interval: x < 1, 1 < x < 3, dan x > 3.
– Untuk x < 1 (misal x=0): (0-1)(0-3) = (-1)(-3) = 3 > 0 (Memenuhi)
– Untuk 1 < x < 3 (misal x=2): (2-1)(2-3) = (1)(-1) = -1 < 0 (Tidak Memenuhi) - Untuk x > 3 (misal x=4): (4-1)(4-3) = (3)(1) = 3 > 0 (Memenuhi)
4. **Tentukan Domain:** Berdasarkan pengujian interval, nilai x yang memenuhi x^2 – 4x + 3 > 0 adalah x < 1 atau x > 3.
Domain fungsi f(x) = log (x^2 – 4x + 3) adalah {x | x < 1 atau x > 3}.
Kondisi ini harus dipenuhi karena logaritma dari bilangan non-positif (nol atau negatif) tidak terdefinisi dalam bilangan real. Oleh karena itu, numerus logaritma harus selalu lebih besar dari nol.
31. Pasangkan ekspresi logaritma di kolom kiri dengan hasil/sifat yang sesuai di kolom kanan.
| log_a a^n | … | n |
| log_a (xy) | … | log_a x + log_a y |
| log_a (x/y) | … | log_a x – log_a y |
| log_a 1 | … | 0 |
| log_a a | … | 1 |
Answer/Key: log_a a^n = n; log_a (xy) = log_a x + log_a y; log_a (x/y) = log_a x – log_a y; log_a 1 = 0; log_a a = 1
32. Pasangkan ekspresi logaritma di kolom kiri dengan nilai atau bentuk yang setara di kolom kanan.
| log_b x | … | log x / log b |
| log 100 | … | 2 |
| ^3log 81 | … | 4 |
| ^2log (1/2) | … | -1 |
| log_a (1/a^n) | … | -n |
Answer/Key: log_b x = log x / log b; log 100 = 2; ^3log 81 = 4; ^2log (1/2) = -1; log_a (1/a^n) = -n