Latihan Soal UTBK Matematika Terlengkap: Pilihan Ganda, Isian, Uraian, dan Mencocokkan

1. Jika f(x) = 2x^2 – 3x + 4 dan g(x) = x – 2, maka nilai (f o g)(3) adalah… (Pilihan Ganda)

• 0
• 1
• 2
• 3
• 4

Kunci Jawaban: g(3) = 3 – 2 = 1. (f o g)(3) = f(g(3)) = f(1) = 2(1)^2 – 3(1) + 4 = 2 – 3 + 4 = 3. Jadi, (f o g)(3) = 3.

2. Nilai dari ^2log(8) + ^3log(9) – ^5log(1/25) adalah… (Pilihan Ganda)

• 3
• 4
• 5
• 6
• 7

Kunci Jawaban: ^2log(8) = ^2log(2^3) = 3. ^3log(9) = ^3log(3^2) = 2. ^5log(1/25) = ^5log(5^-2) = -2. Jadi, 3 + 2 – (-2) = 3 + 2 + 2 = 7.

3. Suku ke-7 dari barisan geometri dengan suku pertama 3 dan rasio 2 adalah… (Pilihan Ganda)

• 96
• 128
• 192
• 256
• 384

Kunci Jawaban: Un = a * r^(n-1). U7 = 3 * 2^(7-1) = 3 * 2^6 = 3 * 64 = 192.

4. Nilai dari lim (x->2) (x^2 – 4) / (x – 2) adalah… (Pilihan Ganda)

• 0
• 2
• 4
• 6
• tak hingga

Kunci Jawaban: lim (x->2) (x-2)(x+2) / (x-2) = lim (x->2) (x+2) = 2+2 = 4.

5. Turunan pertama dari f(x) = (3x^2 – 2x + 1)^4 adalah f'(x) = … (Pilihan Ganda)

• 4(3x^2 – 2x + 1)^3
• (6x – 2)(3x^2 – 2x + 1)^3
• 4(6x – 2)(3x^2 – 2x + 1)^3
• (6x – 2)(3x^2 – 2x + 1)^4
• 4(6x – 2)

Kunci Jawaban: Menggunakan aturan rantai, f'(x) = 4(3x^2 – 2x + 1)^(4-1) * turunan dari (3x^2 – 2x + 1) = 4(3x^2 – 2x + 1)^3 * (6x – 2) = 4(6x – 2)(3x^2 – 2x + 1)^3.

6. Hasil dari ∫(3x^2 – 4x + 5) dx adalah… (Pilihan Ganda)

• x^3 – 2x^2 + 5x + C
• x^3 – 4x^2 + 5x + C
• 3x^3 – 4x^2 + 5x + C
• x^3 – 2x^2 + 5 + C
• x^3 – 2x^2 + 5x

Kunci Jawaban: ∫(3x^2 – 4x + 5) dx = (3/3)x^3 – (4/2)x^2 + 5x + C = x^3 – 2x^2 + 5x + C.

7. Jika matriks A = [[2, -1], [3, 4]] dan B = [[1, 0], [-2, 5]], maka A + B adalah… (Pilihan Ganda)

• [[3, -1], [1, 9]]
• [[3, -1], [5, 9]]
• [[3, 1], [1, 9]]
• [[1, -1], [5, -1]]
• [[3, 1], [5, 9]]

Kunci Jawaban: A + B = [[2+1, -1+0], [3+(-2), 4+5]] = [[3, -1], [1, 9]].

8. Jika sin x = 3/5 dan x adalah sudut lancip, maka nilai cos x adalah… (Pilihan Ganda)

• 3/4
• 4/5
• 5/3
• 5/4
• 1

Kunci Jawaban: Karena x adalah sudut lancip, cos x positif. Gunakan identitas sin^2 x + cos^2 x = 1. (3/5)^2 + cos^2 x = 1. 9/25 + cos^2 x = 1. cos^2 x = 1 – 9/25 = 16/25. cos x = sqrt(16/25) = 4/5.

9. Sebuah kantong berisi 5 kelereng merah dan 3 kelereng biru. Jika diambil 2 kelereng secara acak, peluang terambilnya 1 kelereng merah dan 1 kelereng biru adalah… (Pilihan Ganda)

• 15/56
• 15/28
• 10/28
• 3/8
• 5/8

Kunci Jawaban: Total kelereng = 8. Cara mengambil 1 merah dari 5 = C(5,1) = 5. Cara mengambil 1 biru dari 3 = C(3,1) = 3. Cara mengambil 2 kelereng dari 8 = C(8,2) = 8*7 / (2*1) = 28. Peluang = (C(5,1) * C(3,1)) / C(8,2) = (5 * 3) / 28 = 15/28.

10. Median dari data 7, 8, 6, 9, 5, 7, 10, 8 adalah… (Pilihan Ganda)

• 7
• 7.5
• 8
• 8.5
• 9

Kunci Jawaban: Urutkan data: 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10. Jumlah data (n) = 8 (genap). Median = (data ke n/2 + data ke (n/2)+1) / 2 = (data ke 4 + data ke 5) / 2 = (7 + 8) / 2 = 15/2 = 7.5.

11. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan (x-3)(x+2) > 0 adalah… (Pilihan Ganda)

• x < -2 atau x > 3
• -2 < x < 3
• x < -3 atau x > 2
• -3 < x < 2
• x < 0 atau x > 1

Kunci Jawaban: Pembuat nol adalah x = 3 dan x = -2. Uji titik: Untuk x = -3: (-3-3)(-3+2) = (-6)(-1) = 6 > 0 (memenuhi). Untuk x = 0: (0-3)(0+2) = (-3)(2) = -6 < 0 (tidak memenuhi). Untuk x = 4: (4-3)(4+2) = (1)(6) = 6 > 0 (memenuhi). Jadi, x < -2 atau x > 3.

12. Nilai x yang memenuhi persamaan 2^(2x-1) = 8 adalah… (Pilihan Ganda)

• 1
• 2
• 3
• 4
• 5

Kunci Jawaban: 2^(2x-1) = 2^3. Maka, 2x – 1 = 3. 2x = 4. x = 2.

13. Jika f(x) = (2x + 1) / (x – 3), maka invers dari f(x) adalah f^-1(x) = … (Pilihan Ganda)

• (3x + 1) / (x – 2)
• (3x – 1) / (x – 2)
• (3x + 1) / (x + 2)
• (x + 3) / (2x – 1)
• (2x – 1) / (x – 3)

Kunci Jawaban: Misal y = (2x + 1) / (x – 3). y(x – 3) = 2x + 1. yx – 3y = 2x + 1. yx – 2x = 3y + 1. x(y – 2) = 3y + 1. x = (3y + 1) / (y – 2). Jadi, f^-1(x) = (3x + 1) / (x – 2).

14. Diberikan vektor a = [3, -1, 2] dan b = [1, 2, -4]. Hasil dari a . b (dot product) adalah… (Pilihan Ganda)

• -7
• -6
• 0
• 6
• 7

Kunci Jawaban: a . b = (3)(1) + (-1)(2) + (2)(-4) = 3 – 2 – 8 = -7.

15. Persamaan garis singgung lingkaran x^2 + y^2 = 25 di titik (3, 4) adalah… (Pilihan Ganda)

• 3x + 4y = 25
• 4x + 3y = 25
• 3x – 4y = 25
• 4x – 3y = 25
• x + y = 25

Kunci Jawaban: Persamaan garis singgung lingkaran x^2 + y^2 = r^2 di titik (x1, y1) adalah x1x + y1y = r^2. Jadi, 3x + 4y = 25.

16. Nilai maksimum dari f(x, y) = 2x + 3y dengan kendala x + y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0 adalah… (Pilihan Ganda)

• 10
• 12
• 15
• 20
• 25

Kunci Jawaban: Titik-titik pojok dari daerah fisibel: (0,0), (5,0), (0,5). f(0,0) = 2(0) + 3(0) = 0. f(5,0) = 2(5) + 3(0) = 10. f(0,5) = 2(0) + 3(5) = 15. Nilai maksimum adalah 15.

17. Pernyataan yang ekuivalen dengan ‘Jika hari hujan, maka saya memakai payung’ adalah… (Pilihan Ganda)

• Jika saya memakai payung, maka hari hujan.
• Jika hari tidak hujan, maka saya tidak memakai payung.
• Jika saya tidak memakai payung, maka hari tidak hujan.
• Hari hujan dan saya tidak memakai payung.
• Hari tidak hujan dan saya memakai payung.

Kunci Jawaban: Ini adalah kontraposisi. Pernyataan P -> Q ekuivalen dengan ~Q -> ~P. P = ‘hari hujan’, Q = ‘saya memakai payung’. Kontraposisinya adalah ‘Jika saya tidak memakai payung, maka hari tidak hujan’.

18. Dari 10 orang, akan dipilih 3 orang untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara. Banyaknya cara pemilihan adalah… (Pilihan Ganda)

• 120
• 360
• 720
• 1000
• 1200

Kunci Jawaban: Ini adalah permutasi karena posisi (ketua, sekretaris, bendahara) berbeda. P(10,3) = 10! / (10-3)! = 10! / 7! = 10 * 9 * 8 = 720.

19. Diketahui fungsi f(x) = x^2 – 4x + 3. Titik puncak dari fungsi tersebut adalah… (Pilihan Ganda)

• (2, -1)
• (-2, 1)
• (2, 1)
• (-2, -1)
• (1, 0)

Kunci Jawaban: Koordinat x titik puncak: -b/(2a) = -(-4)/(2*1) = 4/2 = 2. Koordinat y titik puncak: f(2) = 2^2 – 4(2) + 3 = 4 – 8 + 3 = -1. Jadi, titik puncaknya adalah (2, -1).

20. Jarak antara titik (1, 2, 3) dan (3, 4, 5) adalah… (Pilihan Ganda)

• √8
• √12
• √16
• √20
• √24

Kunci Jawaban: Jarak = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2) = sqrt((3-1)^2 + (4-2)^2 + (5-3)^2) = sqrt(2^2 + 2^2 + 2^2) = sqrt(4 + 4 + 4) = sqrt(12).

21. Jika y = (2x – 1) / (x + 3), maka nilai dy/dx adalah… (Isian Singkat)

Kunci Jawaban: Menggunakan aturan hasil bagi: (u’v – uv’) / v^2. u = 2x – 1, u’ = 2. v = x + 3, v’ = 1. dy/dx = (2(x + 3) – (2x – 1)(1)) / (x + 3)^2 = (2x + 6 – 2x + 1) / (x + 3)^2 = 7 / (x + 3)^2.

22. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x^2, sumbu-x, garis x = 1, dan garis x = 3 adalah… (Isian Singkat)

Kunci Jawaban: Luas = ∫(dari 1 sampai 3) x^2 dx = [1/3 x^3] (dari 1 sampai 3) = (1/3)(3^3) – (1/3)(1^3) = (1/3)(27) – (1/3)(1) = 9 – 1/3 = 26/3.

23. Persamaan garis 3x – 4y + 12 = 0. Jarak dari titik (1, 2) ke garis tersebut adalah… (Isian Singkat)

Kunci Jawaban: Rumus jarak titik (x0, y0) ke garis Ax + By + C = 0 adalah |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2). A=3, B=-4, C=12. (x0, y0) = (1, 2). Jarak = |3(1) – 4(2) + 12| / sqrt(3^2 + (-4)^2) = |3 – 8 + 12| / sqrt(9 + 16) = |7| / sqrt(25) = 7/5.

24. Dua buah dadu dilempar bersamaan. Peluang munculnya mata dadu berjumlah 7 adalah… (Isian Singkat)

Kunci Jawaban: Ruang sampel = 6*6 = 36. Mata dadu berjumlah 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Ada 6 kejadian. Peluang = 6/36 = 1/6.

25. Rata-rata nilai ulangan matematika dari 30 siswa adalah 75. Jika 5 siswa dengan rata-rata 80 bergabung, maka rata-rata nilai seluruh siswa menjadi… (Isian Singkat)

Kunci Jawaban: Jumlah nilai awal = 30 * 75 = 2250. Jumlah nilai tambahan = 5 * 80 = 400. Total jumlah nilai = 2250 + 400 = 2650. Total siswa = 30 + 5 = 35. Rata-rata baru = 2650 / 35 = 530 / 7 ≈ 75.71.

26. Tentukan nilai dari lim (x->0) (sin 4x) / (2x * cos 3x). (Uraian)

Kunci Jawaban: lim (x->0) (sin 4x) / (2x * cos 3x) = lim (x->0) [(sin 4x) / (2x)] * [1 / (cos 3x)] = (4/2) * (1 / cos(0)) = 2 * (1/1) = 2. Jadi, nilai limitnya adalah 2.

27. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan: x + y ≤ 4, x + 2y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0. Jelaskan juga bagaimana menggambarkan daerah penyelesaiannya. (Uraian)

Kunci Jawaban: 1. Garis x + y = 4: titik potong (0,4) dan (4,0). Daerah penyelesaian di bawah garis. 2. Garis x + 2y = 6: titik potong (0,3) dan (6,0). Daerah penyelesaian di bawah garis. 3. x ≥ 0 dan y ≥ 0: Daerah di kuadran I. 4. Titik potong kedua garis: (2,2). Himpunan penyelesaian adalah daerah tertutup yang dibatasi oleh titik-titik (0,0), (4,0), (2,2), dan (0,3). Gambarlah garis dan arsir daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan.

28. Sebuah limas T.ABCD memiliki alas persegi dengan panjang sisi 6 cm. Jika tinggi limas 8 cm, hitunglah volume limas dan luas permukaan limas tersebut. (Uraian)

Kunci Jawaban: Volume Limas: Luas alas (La) = 6^2 = 36 cm^2. Tinggi (t) = 8 cm. Volume (V) = (1/3) * La * t = (1/3) * 36 * 8 = 96 cm^3. Luas Permukaan Limas: Luas permukaan = Luas alas + Luas seluruh sisi tegak. Sisi miring segitiga tegak (t_s) = sqrt(8^2 + (6/2)^2) = sqrt(64 + 9) = sqrt(73) cm. Luas satu sisi tegak = (1/2) * 6 * sqrt(73) = 3 * sqrt(73) cm^2. Luas seluruh sisi tegak = 4 * 3 * sqrt(73) = 12 * sqrt(73) cm^2. Luas permukaan = 36 + 12 * sqrt(73) cm^2.

29. Tentukan jumlah deret tak hingga 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + … (Uraian)

Kunci Jawaban: Ini adalah deret geometri tak hingga. Suku pertama (a) = 1. Rasio (r) = 1/3. Karena |r| < 1, deret ini konvergen. Jumlah deret tak hingga (S_infinity) = a / (1 - r) = 1 / (1 - 1/3) = 1 / (2/3) = 3/2. Jadi, jumlah deret tak hingga tersebut adalah 3/2.

30. Sebuah kotak tanpa tutup dibuat dari selembar seng berbentuk persegi panjang dengan ukuran 12 cm x 8 cm. Dengan memotong persegi-persegi kecil berukuran sama di keempat sudutnya dan melipat sisi-sisinya, tentukan ukuran persegi yang harus dipotong agar volume kotak maksimum. (Uraian)

Kunci Jawaban: Misalkan panjang sisi persegi yang dipotong adalah x cm. Panjang kotak (p) = 12 – 2x, Lebar kotak (l) = 8 – 2x, Tinggi kotak (t) = x. Volume V(x) = (12 – 2x)(8 – 2x)x = 4x^3 – 40x^2 + 96x. Untuk volume maksimum, V'(x) = 0. V'(x) = 12x^2 – 80x + 96 = 0. Bagi 4: 3x^2 – 20x + 24 = 0. Gunakan rumus ABC: x = [20 ± sqrt(400 – 288)] / 6 = [20 ± sqrt(112)] / 6 = [20 ± 4sqrt(7)] / 6 = [10 ± 2sqrt(7)] / 3. Batasan x: 0 < x < 4. Nilai yang memenuhi adalah x = (10 - 2sqrt(7)) / 3 cm (sekitar 1.57 cm).

31. Cocokkan istilah matematika berikut dengan definisinya: A. Turunan B. Integral C. Limit D. Fungsi Invers. 1. Proses kebalikan dari turunan, digunakan untuk mencari luas daerah di bawah kurva. 2. Nilai yang didekati suatu fungsi ketika inputnya mendekati suatu nilai tertentu. 3. Perubahan sesaat suatu fungsi terhadap perubahan variabelnya, sering diinterpretasikan sebagai gradien garis singgung. 4. Fungsi yang membalikkan efek fungsi lain. (Mencocokkan)

Kunci Jawaban: A-3, B-1, C-2, D-4

32. Cocokkan sifat logaritma berikut dengan bentuk yang benar: A. log_b(x) + log_b(y) B. log_b(x) – log_b(y) C. k * log_b(x) D. log_b(b^k). 1. log_b(x^k) 2. k 3. log_b(x * y) 4. log_b(x / y). (Mencocokkan)

Kunci Jawaban: A-3, B-4, C-1, D-2