Selamat datang di sumber latihan soal terlengkap untuk materi limit fungsi matematika SMA! Memahami konsep limit adalah fondasi penting dalam kalkulus dan seringkali menjadi tantangan bagi banyak siswa. Halaman ini dirancang khusus untuk membantu Anda menguasai limit fungsi, mulai dari dasar hingga tingkat yang lebih kompleks. Kami telah menyiapkan berbagai jenis soal, termasuk pilihan ganda, isian singkat, uraian, dan mencocokkan, yang mencakup limit aljabar, limit tak hingga, dan limit trigonometri. Setiap soal dilengkapi dengan kunci jawaban dan pembahasan mendetail agar Anda bisa memahami langkah-langkah penyelesaiannya dengan baik. Baik Anda sedang mempersiapkan ulangan harian, ujian semester, atau UTBK, latihan soal ini akan menjadi alat yang sangat efektif untuk mengukur pemahaman Anda dan meningkatkan keterampilan pemecahan masalah. Jangan lewatkan kesempatan untuk mengasah kemampuan limit Anda di sini!
A. Pilihan Ganda
-
Nilai dari lim (x->2) (x^2 – 4) / (x – 2) adalah…
- a. 0
- b. 1
- c. 2
- d. 4
Kunci Jawaban: d. 4
-
Nilai dari lim (x->3) (x^2 – 9) / (x^2 – 2x – 3) adalah…
- a. 0
- b. 1
- c. 3/2
- d. 2
Kunci Jawaban: c. 3/2
-
Nilai dari lim (x->0) (x^3 + 2x^2 – x) / x adalah…
- a. -1
- b. 0
- c. 1
- d. 2
Kunci Jawaban: a. -1
-
Nilai dari lim (x->1) (sqrt(x) – 1) / (x – 1) adalah…
- a. 0
- b. 1
- c. 1/2
- d. 2
Kunci Jawaban: c. 1/2
-
Nilai dari lim (x->4) (x – 4) / (sqrt(x) – 2) adalah…
- a. 0
- b. 1
- c. 2
- d. 4
Kunci Jawaban: d. 4
-
Nilai dari lim (x->inf) (3x^2 – 2x + 1) / (x^2 + 4x – 5) adalah…
- a. 0
- b. 1
- c. 3
- d. Tak hingga
Kunci Jawaban: c. 3
-
Nilai dari lim (x->inf) (2x^3 + x) / (x^2 – 5) adalah…
- a. 0
- b. 1
- c. 2
- d. Tak hingga
Kunci Jawaban: d. Tak hingga
-
Nilai dari lim (x->inf) (x^2 + 1) / (x^3 + x^2 + 1) adalah…
- a. 0
- b. 1
- c. Tak hingga
- d. -1
Kunci Jawaban: a. 0
-
Nilai dari lim (x->0) sin(4x) / (2x) adalah…
- a. 0
- b. 1
- c. 2
- d. 4
Kunci Jawaban: c. 2
-
Nilai dari lim (x->0) tan(3x) / (2x) adalah…
- a. 0
- b. 3/2
- c. 2
- d. 3
Kunci Jawaban: b. 3/2
-
Nilai dari lim (x->0) (1 – cos(2x)) / (x * sin(x)) adalah…
- a. 0
- b. 1
- c. 2
- d. 4
Kunci Jawaban: c. 2
-
Nilai dari lim (x->pi/2) (cos(x)) / (x – pi/2) adalah…
- a. -1
- b. 0
- c. 1
- d. Tak hingga
Kunci Jawaban: a. -1
-
Nilai dari lim (x->inf) (sqrt(x^2 + 2x) – x) adalah…
- a. 0
- b. 1
- c. 2
- d. Tak hingga
Kunci Jawaban: b. 1
-
Nilai dari lim (x->-1) (x^2 – 1) / (x + 1) adalah…
- a. -2
- b. -1
- c. 0
- d. 1
Kunci Jawaban: a. -2
-
Nilai dari lim (x->0) (x^2 + 5x) / (x^2 – 2x) adalah…
- a. 5/2
- b. 0
- c. -5/2
- d. -2
Kunci Jawaban: c. -5/2
-
Nilai dari lim (x->0) (sin(5x) + tan(3x)) / (2x) adalah…
- a. 1
- b. 2
- c. 3
- d. 4
Kunci Jawaban: d. 4
-
Nilai dari lim (x->inf) (sqrt(4x^2 – 3x + 1) – 2x) adalah…
- a. -1
- b. -3/4
- c. 0
- d. 1
Kunci Jawaban: b. -3/4
-
Nilai dari lim (x->0) (sin(x) * tan(2x)) / (x^2) adalah…
- a. 0
- b. 1
- c. 1/2
- d. 2
Kunci Jawaban: d. 2
-
Nilai dari lim (x->3) (x^2 – 5x + 6) / (x – 3) adalah…
- a. 0
- b. 1
- c. 2
- d. 3
Kunci Jawaban: b. 1
-
Nilai dari lim (x->0) (tan(x) – sin(x)) / (x^3) adalah…
- a. 0
- b. 1/3
- c. 1/2
- d. 1
Kunci Jawaban: c. 1/2
B. Isian Singkat
-
Tentukan nilai dari lim (x->5) (x – 5) / (x^2 – 25).
Jawaban: 1/10
-
Tentukan nilai dari lim (x->inf) (4x – 1) / (2x + 3).
Jawaban: 2
-
Tentukan nilai dari lim (x->0) (sin(x) + x) / (2x).
Jawaban: 1
-
Tentukan nilai dari lim (x->2) (x^3 – 8) / (x – 2).
Jawaban: 12
-
Tentukan nilai dari lim (x->0) (6x) / (tan(2x)).
Jawaban: 3
C. Uraian
-
Jelaskan pengertian limit fungsi secara intuitif dan berikan satu contoh fungsi yang memiliki limit di suatu titik tetapi tidak terdefinisi di titik tersebut.
Pembahasan: Secara intuitif, limit fungsi f(x) ketika x mendekati suatu nilai ‘c’ adalah nilai L yang ‘didekati’ oleh f(x) saat x semakin dekat ke c, tetapi tidak harus sama dengan f(c). Ini berarti kita melihat perilaku fungsi di sekitar titik tersebut, bukan persis di titik tersebut. Contoh: Fungsi f(x) = (x^2 – 4) / (x – 2). Jika x mendekati 2, nilai f(x) mendekati 4. Jadi, lim (x->2) f(x) = 4. Namun, f(2) tidak terdefinisi karena akan menghasilkan 0/0.
-
Hitunglah nilai dari lim (x->inf) (sqrt(9x^2 + 6x – 1) – (3x – 2)). Tunjukkan langkah-langkah lengkapnya.
Pembahasan: Untuk menyelesaikan limit ini, kita gunakan perkalian dengan bentuk sekawan.lim (x->inf) (sqrt(9x^2 + 6x – 1) – (3x – 2)) = lim (x->inf) (sqrt(9x^2 + 6x – 1) – (3x – 2)) * (sqrt(9x^2 + 6x – 1) + (3x – 2)) / (sqrt(9x^2 + 6x – 1) + (3x – 2)) = lim (x->inf) ((9x^2 + 6x – 1) – (3x – 2)^2) / (sqrt(9x^2 + 6x – 1) + (3x – 2)) = lim (x->inf) ((9x^2 + 6x – 1) – (9x^2 – 12x + 4)) / (sqrt(9x^2 + 6x – 1) + (3x – 2)) = lim (x->inf) (9x^2 + 6x – 1 – 9x^2 + 12x – 4) / (sqrt(9x^2 + 6x – 1) + (3x – 2)) = lim (x->inf) (18x – 5) / (sqrt(9x^2 + 6x – 1) + (3x – 2)).Bagi semua suku dengan x (pangkat tertinggi di penyebut setelah akar):= lim (x->inf) (18 – 5/x) / (sqrt(9 + 6/x – 1/x^2) + (3 – 2/x)).Ketika x mendekati tak hingga, suku-suku dengan 1/x atau 1/x^2 akan mendekati 0.= (18 – 0) / (sqrt(9 + 0 – 0) + (3 – 0)) = 18 / (sqrt(9) + 3) = 18 / (3 + 3) = 18 / 6 = 3.Jadi, nilai limitnya adalah 3.
-
Bagaimana cara menentukan limit fungsi trigonometri ketika x mendekati 0? Berikan contoh lim (x->0) (sin(ax) / bx) dan jelaskan mengapa hasilnya adalah a/b.
Pembahasan: Untuk menentukan limit fungsi trigonometri ketika x mendekati 0, kita menggunakan sifat-sifat dasar limit trigonometri, yaitu lim (x->0) sin(x)/x = 1 dan lim (x->0) tan(x)/x = 1. Sifat-sifat ini juga berlaku untuk bentuk ax atau bx.Contoh: lim (x->0) (sin(ax) / bx).Untuk menyelesaikan ini, kita manipulasi ekspresi agar sesuai dengan bentuk dasar:lim (x->0) (sin(ax) / bx) = lim (x->0) (sin(ax) / (ax)) * (ax / bx).Kita tahu bahwa lim (x->0) sin(ax) / (ax) = 1.Maka, ekspresi menjadi lim (x->0) 1 * (ax / bx) = lim (x->0) a/b = a/b.Jadi, hasilnya adalah a/b. Ini karena kita dapat mengalikan dan membagi dengan ‘ax’ untuk menciptakan bentuk limit dasar sin(u)/u, yang hasilnya 1, sehingga menyisakan rasio koefisien ‘a’ dan ‘b’.
-
Jelaskan Teorema Apit (Squeeze Theorem) dalam konteks limit fungsi. Berikan contoh penggunaan teorema ini untuk mencari nilai limit.
Pembahasan: Teorema Apit (Squeeze Theorem) menyatakan bahwa jika sebuah fungsi ‘terjepit’ di antara dua fungsi lain yang memiliki limit yang sama di suatu titik, maka fungsi yang terjepit tersebut juga harus memiliki limit yang sama di titik tersebut. Formalnya, jika untuk semua x dalam interval terbuka yang memuat c (kecuali mungkin di c itu sendiri), kita memiliki g(x) <= f(x) <= h(x), dan jika lim (x->c) g(x) = L serta lim (x->c) h(x) = L, maka lim (x->c) f(x) = L.Contoh: Tentukan lim (x->0) x^2 * sin(1/x).Kita tahu bahwa -1 <= sin(1/x) <= 1 untuk semua x tidak sama dengan 0.Kemudian, kita kalikan ketiga bagian dengan x^2 (karena x^2 >= 0, arah ketidaksamaan tidak berubah):-x^2 <= x^2 * sin(1/x) <= x^2.Sekarang, kita cari limit dari fungsi-fungsi 'pengapit':lim (x->0) (-x^2) = 0.lim (x->0) (x^2) = 0.Karena kedua limit pengapit adalah 0, maka berdasarkan Teorema Apit, lim (x->0) x^2 * sin(1/x) = 0.
-
Sebuah partikel bergerak dengan posisi S(t) = t^2 + 3t meter setelah t detik. Tentukan kecepatan rata-rata partikel antara t=2 dan t=2.1 detik. Kemudian, gunakan konsep limit untuk menentukan kecepatan sesaat partikel pada t=2 detik.
Pembahasan: 1. Kecepatan rata-rata antara t=2 dan t=2.1 detik:Posisi pada t=2: S(2) = 2^2 + 3(2) = 4 + 6 = 10 meter.Posisi pada t=2.1: S(2.1) = (2.1)^2 + 3(2.1) = 4.41 + 6.3 = 10.71 meter.Perubahan posisi = S(2.1) – S(2) = 10.71 – 10 = 0.71 meter.Perubahan waktu = 2.1 – 2 = 0.1 detik.Kecepatan rata-rata = Perubahan posisi / Perubahan waktu = 0.71 / 0.1 = 7.1 m/s.2. Kecepatan sesaat pada t=2 detik menggunakan konsep limit:Kecepatan sesaat didefinisikan sebagai limit dari kecepatan rata-rata ketika interval waktu mendekati nol.v(t) = lim (h->0) [S(t + h) – S(t)] / h.Pada t=2:v(2) = lim (h->0) [S(2 + h) – S(2)] / h.S(2 + h) = (2 + h)^2 + 3(2 + h) = (4 + 4h + h^2) + (6 + 3h) = h^2 + 7h + 10.S(2) = 10.v(2) = lim (h->0) [(h^2 + 7h + 10) – 10] / h = lim (h->0) (h^2 + 7h) / h = lim (h->0) h(h + 7) / h = lim (h->0) (h + 7).Substitusi h=0:v(2) = 0 + 7 = 7 m/s.Jadi, kecepatan rata-rata adalah 7.1 m/s dan kecepatan sesaat pada t=2 detik adalah 7 m/s.
D. Mencocokkan
-
Cocokkan ekspresi limit berikut dengan hasilnya.
Pernyataan A Pernyataan B lim (x->0) (x^2 + 2x) / x 2 lim (x->inf) (5x^3 – 2x) / (x^3 + 7) 5 Kunci: lim (x->0) (x^2 + 2x) / x cocok dengan 2; lim (x->inf) (5x^3 – 2x) / (x^3 + 7) cocok dengan 5.
-
Cocokkan ekspresi limit trigonometri berikut dengan hasilnya.
Pernyataan A Pernyataan B lim (x->0) (sin(x) / tan(x)) 1 lim (x->0) (1 – cos(x)) / (x^2) 1/2 Kunci: lim (x->0) (sin(x) / tan(x)) cocok dengan 1; lim (x->0) (1 – cos(x)) / (x^2) cocok dengan 1/2.