Kumpulan Contoh Soal UAS Matematika Kelas 12 Semester 1: Persiapan Lengkap!

Contoh Soal contoh soal uas matematika kelas 12 semester 1

A. Pilihan Ganda

1. Nilai dari lim x→2 (x^2 – 4) / (x – 2) adalah…
   • 0
   • 1
   • 2
   • 4
   • Tak hingga

   Jawaban: 4

2. Turunan pertama dari f(x) = 3x^4 – 2x^2 + 5x – 1 adalah…
   • 12x^3 – 4x + 5
   • 12x^3 – 4x
   • 3x^3 – 2x + 5
   • 12x^4 – 4x^2 + 5x
   • 3x^4 – 2x^2 + 5

   Jawaban: 12x^3 – 4x + 5

3. Jika f(x) = (2x + 1)^3, maka f'(x) adalah…
   • 3(2x + 1)^2
   • 6(2x + 1)^2
   • 2(2x + 1)^2
   • 3(2x + 1)
   • 6(2x + 1)

   Jawaban: 6(2x + 1)^2

4. Integral dari (3x^2 + 2x) dx adalah…
   • x^3 + x^2 + C
   • 6x + 2 + C
   • 3x^3 + 2x^2 + C
   • x^3 + 2x^2 + C
   • 3x^2 + x^2 + C

   Jawaban: x^3 + x^2 + C

5. Sebuah balok memiliki panjang 8 cm, lebar 6 cm, dan tinggi 5 cm. Panjang diagonal ruang balok tersebut adalah…
   • 10 cm
   • sqrt(125) cm
   • sqrt(100) cm
   • sqrt(80) cm
   • sqrt(64) cm

   Jawaban: sqrt(125) cm

6. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan x + y ≤ 4, x + 2y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0 ditunjukkan oleh grafik…
   • Segitiga
   • Persegi
   • Trapesium
   • Jajaran Genjang
   • Lingkaran

   Jawaban: Segitiga

7. Diketahui matriks A = [[2, 1], [3, 4]] dan B = [[-1, 5], [0, 2]]. Hasil dari A + B adalah…
   • [[1, 6], [3, 6]]
   • [[3, -4], [3, 2]]
   • [[2, 5], [3, 8]]
   • [[1, 6], [3, 2]]
   • [[1, 6], [0, 6]]

   Jawaban: [[1, 6], [3, 6]]

8. Nilai dari lim x→3 (x^2 – 9) / (x – 3) adalah…
   • 0
   • 3
   • 6
   • 9
   • Tak hingga

   Jawaban: 6

9. Jika f(x) = sin(2x + pi/4), maka f'(x) adalah…
   • cos(2x + pi/4)
   • 2cos(2x + pi/4)
   • -cos(2x + pi/4)
   • -2cos(2x + pi/4)
   • 2sin(2x + pi/4)

   Jawaban: 2cos(2x + pi/4)

10. Hasil dari integral tentu dari 0 sampai 2 untuk (x^2 + 1) dx adalah…
    • 8/3
    • 10/3
    • 14/3
    • 16/3
    • 20/3

    Jawaban: 14/3

11. Sebuah kubus memiliki rusuk 6 cm. Jarak titik A ke titik C adalah…
    • 6 cm
    • 6sqrt(2) cm
    • 6sqrt(3) cm
    • 12 cm
    • 3sqrt(2) cm

    Jawaban: 6sqrt(2) cm

12. Diketahui f(x) = (x^2 – 1) / (x + 1). Nilai f'(2) adalah…
    • 1/3
    • 1/2
    • 1
    • 2
    • 3

    Jawaban: 1

13. Matriks identitas berordo 2×2 adalah…
    • [[1, 0], [0, 1]]
    • [[0, 1], [1, 0]]
    • [[1, 1], [1, 1]]
    • [[0, 0], [0, 0]]
    • [[1, 0], [1, 0]]

    Jawaban: [[1, 0], [0, 1]]

14. Titik stasioner dari fungsi f(x) = x^3 – 3x^2 + 3 adalah…
    • x = 0 dan x = 1
    • x = 0 dan x = 2
    • x = 1 dan x = 2
    • x = -1 dan x = 0
    • x = -1 dan x = 1

    Jawaban: x = 0 dan x = 2

15. Invers dari matriks A = [[2, 5], [1, 3]] adalah…
    • [[3, -5], [-1, 2]]
    • [[-3, 5], [1, -2]]
    • [[3, 5], [1, 2]]
    • [[2, 1], [5, 3]]
    • [[1, 5], [2, 3]]

    Jawaban: [[3, -5], [-1, 2]]

16. Nilai maksimum dari fungsi tujuan f(x, y) = 3x + 2y pada daerah penyelesaian x + y ≤ 4, x + 2y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0 adalah…
    • 8
    • 10
    • 12
    • 13
    • 14

    Jawaban: 12

17. Hasil dari integral dari (4x^3 – 6x^2 + 2x) dx adalah…
    • x^4 – 2x^3 + x^2 + C
    • x^4 – 3x^3 + x^2 + C
    • 4x^4 – 6x^3 + 2x^2 + C
    • 12x^2 – 12x + 2 + C
    • x^4 – 2x^3 + 2x^2 + C

    Jawaban: x^4 – 2x^3 + x^2 + C

18. Gradien garis singgung kurva y = x^2 – 4x + 3 di titik (1, 0) adalah…
    • -2
    • -1
    • 0
    • 1
    • 2

    Jawaban: -2

19. Persamaan garis singgung kurva y = x^2 + 2x – 1 di titik yang berabsis 1 adalah…
    • y = 4x – 2
    • y = 4x – 3
    • y = 4x + 2
    • y = 2x – 4
    • y = 2x – 2

    Jawaban: y = 4x – 2

20. Perhatikan limas segiempat beraturan T.ABCD. Jika panjang rusuk alas 8 cm dan tinggi limas 6 cm, jarak titik T ke titik tengah AB adalah…
    • 8 cm
    • sqrt(52) cm
    • 10 cm
    • sqrt(68) cm
    • sqrt(80) cm

    Jawaban: sqrt(52) cm

B. Isian Singkat

1. Tentukan nilai lim x→0 (x^2 + 2x) / x.

   Jawaban: 2

2. Jika f(x) = 5x^3 – 2x + 7, tentukan f'(1).

   Jawaban: 13

3. Hitunglah hasil dari integral ∫(6x^2 – 4x + 3) dx.

   Jawaban: 2x^3 – 2x^2 + 3x + C

4. Sebuah kotak tanpa tutup dibuat dari selembar karton berbentuk persegi dengan sisi 12 cm. Dengan memotong persegi kecil di setiap sudutnya dan melipat sisi-sisinya, tentukan ukuran sisi persegi yang harus dipotong agar volume kotak maksimum.

   Jawaban: 2 cm

5. Diketahui matriks P = [[3, -1], [2, 4]]. Tentukan determinan dari matriks P.

   Jawaban: 14

C. Uraian

1. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x^3 – 2x + 1 yang tegak lurus dengan garis x + 4y – 5 = 0.

   Pembahasan: Pertama, cari gradien garis x + 4y – 5 = 0, yaitu m1 = -1/4. Karena tegak lurus, gradien garis singgung (m2) adalah -1/m1 = 4. Selanjutnya, cari turunan pertama kurva, y’ = 3x^2 – 2. Samakan y’ dengan m2: 3x^2 – 2 = 4, sehingga 3x^2 = 6, x^2 = 2, maka x = ±sqrt(2). Untuk x = sqrt(2), y = (sqrt(2))^3 – 2(sqrt(2)) + 1 = 2sqrt(2) – 2sqrt(2) + 1 = 1. Titik (sqrt(2), 1). Persamaan garis singgung: y – 1 = 4(x – sqrt(2)) -> y = 4x – 4sqrt(2) + 1. Untuk x = -sqrt(2), y = (-sqrt(2))^3 – 2(-sqrt(2)) + 1 = -2sqrt(2) + 2sqrt(2) + 1 = 1. Titik (-sqrt(2), 1). Persamaan garis singgung: y – 1 = 4(x + sqrt(2)) -> y = 4x + 4sqrt(2) + 1.

2. Sebuah perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya total (dalam ribuan rupiah) C(x) = x^2 – 40x + 500. Jika harga jual per unit barang adalah Rp 60.000, tentukan banyaknya barang yang harus diproduksi agar perusahaan memperoleh keuntungan maksimum.

   Pembahasan: Fungsi pendapatan R(x) = 60x. Fungsi keuntungan K(x) = R(x) – C(x) = 60x – (x^2 – 40x + 500) = -x^2 + 100x – 500. Untuk keuntungan maksimum, cari turunan pertama K'(x) dan samakan dengan nol: K'(x) = -2x + 100 = 0. Maka -2x = -100, x = 50. Jadi, perusahaan harus memproduksi 50 unit barang untuk keuntungan maksimum.

3. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x^2 – 4 dan sumbu x.

   Pembahasan: Pertama, cari titik potong kurva dengan sumbu x (y=0): x^2 – 4 = 0, sehingga x^2 = 4, maka x = -2 atau x = 2. Karena kurva berada di bawah sumbu x pada interval [-2, 2], maka luas L = -∫[-2,2] (x^2 – 4) dx. L = -[ (1/3)x^3 – 4x ] dari -2 sampai 2. L = -[ ((1/3)(2)^3 – 4(2)) – ((1/3)(-2)^3 – 4(-2)) ]. L = -[ (8/3 – 8) – (-8/3 + 8) ]. L = -[ (-16/3) – (16/3) ]. L = -[ -32/3 ] = 32/3 satuan luas.

4. Diketahui balok ABCD.EFGH dengan AB = 12 cm, BC = 5 cm, dan AE = 8 cm. Hitunglah jarak titik A ke bidang BFHD.

   Pembahasan: Untuk mencari jarak titik A ke bidang BFHD, kita bisa menggunakan proyeksi titik A ke bidang tersebut. Perhatikan alas ABCD. Jarak A ke garis BD adalah tinggi segitiga siku-siku ABD dengan alas BD. Panjang BD = sqrt(AB^2 + AD^2) = sqrt(12^2 + 5^2) = sqrt(144 + 25) = sqrt(169) = 13 cm. Luas segitiga ABD = (1/2) * AB * AD = (1/2) * 12 * 5 = 30 cm^2. Juga, Luas segitiga ABD = (1/2) * BD * t, di mana t adalah jarak A ke BD. Maka 30 = (1/2) * 13 * t, sehingga t = 60/13 cm. Karena bidang BFHD sejajar dengan garis AC di alas, dan A adalah titik pada alas, maka jarak titik A ke bidang BFHD sama dengan jarak A ke garis BD. Jadi, jarak titik A ke bidang BFHD adalah 60/13 cm.

5. Seorang penjahit memiliki kain batik 40 meter dan kain polos 15 meter. Ia akan membuat dua jenis pakaian. Pakaian jenis A memerlukan 2 meter kain batik dan 1 meter kain polos. Pakaian jenis B memerlukan 1 meter kain batik dan 1 meter kain polos. Jika keuntungan pakaian jenis A adalah Rp 75.000 per potong dan jenis B adalah Rp 50.000 per potong, tentukan keuntungan maksimum yang dapat diperoleh penjahit tersebut.

   Pembahasan: Misalkan x adalah jumlah pakaian jenis A dan y adalah jumlah pakaian jenis B. Model matematikanya: 2x + y ≤ 40 (kain batik), x + y ≤ 15 (kain polos), x ≥ 0, y ≥ 0. Fungsi tujuan: f(x,y) = 75000x + 50000y. Titik-titik pojok daerah penyelesaian: (0,0), (15,0), (0,15), dan titik potong 2x + y = 40 dan x + y = 15. Dari x + y = 15, y = 15 – x. Substitusi ke 2x + y = 40: 2x + (15 – x) = 40 => x + 15 = 40 => x = 25. Jika x = 25, maka y = 15 – 25 = -10 (tidak mungkin, berarti titik potong ini di luar daerah). Mari periksa ulang batasan. Jika x + y = 15, maka 2x + y = x + (x + y) = x + 15 = 40, sehingga x=25. Ini tidak memenuhi x + y = 15. Kesalahan dalam identifikasi titik potong. Mari kita cari titik potong 2x + y = 40 dan x + y = 15. Kurangkan persamaan (2x+y=40) dengan (x+y=15): x = 25. Jika x=25, maka y=-10. Ini berarti batasan kain polos sangat membatasi produksi. Titik-titik pojok yang mungkin: (0,0). (15,0) (dari x+y≤15, y=0). (0,15) (dari x+y≤15, x=0). Titik potong 2x + y = 40 dan x = 0 adalah (0,40) – tetapi ini tidak memenuhi y ≤ 15. Titik potong 2x + y = 40 dan y = 0 adalah (20,0) – tetapi ini tidak memenuhi x ≤ 15. Jadi titik-titik pojok adalah: (0,0), (15,0), (0,15). Mari cek titik potong antara 2x + y = 40 dan x + y = 15. x = 25 (dari pengurangan) dan y = -10 (tidak valid). Ini berarti daerah layak hanya dibatasi oleh x+y ≤ 15, x≥0, y≥0, karena jika x > 15 atau y > 15, maka 2x+y > 40 otomatis. Titik yang memenuhi kedua batas: (0,0), (15,0), (0,15). Titik potong dari 2x + y = 40 dengan y = 15 adalah 2x + 15 = 40 => 2x = 25 => x = 12.5. Titik (12.5, 15). Tapi y=15 adalah batas maksimal. Titik potong dari x + y = 15 dengan 2x + y = 40 (ini menghasilkan x=25, y=-10, yang tidak di daerah positif). Titik-titik pojok yang benar adalah: (0,0), (15,0), (0,15) dan titik potong 2x + y = 40 dan x + y = 15. Dengan eliminasi: (2x+y=40) – (x+y=15) => x = 25. Karena x = 25 melebihi batas x+y<=15, maka titik potong ini tidak berada di daerah yang memenuhi. Jadi daerah feasible adalah segitiga dengan titik sudut: (0,0), (15,0), dan (0,15). Evaluasi fungsi tujuan: f(0,0) = 0. f(15,0) = 75000*15 + 50000*0 = 1.125.000. f(0,15) = 75000*0 + 50000*15 = 750.000. Keuntungan maksimum adalah Rp 1.125.000. (Recheck: jika x=15, y=0. Maka 2(15)+0 = 30 <= 40. Ini valid. Jika x=0, y=15. Maka 2(0)+15 = 15 <= 40. Ini valid. Sepertinya daerah feasible adalah dibatasi oleh x+y=15, x=0, y=0. Tidak ada perpotongan dengan 2x+y=40 di daerah yang layak. Jika 2x+y=40 dan x+y=15, maka x=25, y=-10. Ini di luar kuadran I. Jadi daerah penyelesaian adalah daerah yang dibatasi oleh x+y=15, x=0, y=0. Titik-titik pojoknya (0,0), (15,0), dan (0,15). f(0,0) = 0. f(15,0) = 75.000(15) + 50.000(0) = 1.125.000. f(0,15) = 75.000(0) + 50.000(15) = 750.000. Keuntungan maksimum adalah Rp 1.125.000.

D. Mencocokkan

1. Cocokkan istilah matematika berikut dengan definisinya!
   

   Premis A	Pasangan B
   Limit Fungsi	Nilai pendekatan suatu fungsi pada titik tertentu.
   Turunan Fungsi	Laju perubahan instan suatu fungsi.
   Integral Tak Tentu	Anti-turunan dari suatu fungsi.
   Matriks Identitas	Matriks persegi yang elemen diagonal utamanya satu dan lainnya nol.

2. Pasangkan konsep geometri ruang dengan rumus atau pengertiannya!
   

   Premis A	Pasangan B
   Diagonal Sisi Kubus	rusuk * sqrt(2)
   Diagonal Ruang Kubus	rusuk * sqrt(3)
   Jarak Titik ke Garis	Panjang ruas garis tegak lurus dari titik ke garis.
   Jarak Titik ke Bidang	Panjang ruas garis tegak lurus dari titik ke bidang.